Уравнение колебаний струны.

Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.

Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении.

Допустим, что в момент t₀ = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания.

Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как

u

C

B 

A

D

0 a x x+x b x

На произвольный элемент длины нити (х, х + х) действуют две силы натяжения

и . При этом:

Если считать колебания малыми, то можно принять:

Тогда проекция силы на ось u:

Проекция силы на ось u:

Находим сумму этих проекций:

Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа к выражению, стоящему слева.

Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:

где  - плотность струны.

Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:

Или

Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0.

Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях

и краевых условиях

.

Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.

Функции f(x) и F(x) заданы.

Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l

Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)

Решение уравнения

будем искать в виде при граничных условиях:

Тогда X(0) = X(l) = 0.

Подставим решение в исходное уравнение:

Можно показать, что функции Х и Т имеют вид:

Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде:

Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде:

где

Решение задачи Коши методом Даламбера.

( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)

В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение

решается только при начальных условиях:

Для нахождения решения введем новые переменные:

Тогда исходное уравнение принимает вид:

Решением этого уравнения будет функция , где  и  - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми.

Получаем:

Если продифференцировать полученный ответ, получим:

Т.е. .

Далее с использованием начальных условий находим функции  и .

Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:

Тогда:

Решение задачи Коши получаем в виде:

Эта формула называется формулой Даламбера.