Мода та медіана варіаційного ряду.
Вивчаючи варіації, застосовуються мода і медіана. Моду вираховують поряд із середньою величиною для характеристики значень варіантів, які найчастіше зустрічаються у сукупності, за допомогою моди запроваджують, наприклад, ходовий розмір взуття і одягу, плануючи масовий випуск. Коли вивчають товарообіг ринку, береться модальна ціна, за якою продається максимальна кількість товару. Вибираючи оптимальні варіанти, наприклад, будівництво пунктів масового обслуговування, контролюючи якість продукції і інших економічних розрахунків, замість середніх арифметичних використовують медіану - значення варіанта, розташованого в середині варіаційного ряду.
Мода - це величина ознаки, яка частіше всього зустрічається у варіаційному ряді, варіант з більшою частотою. Якщо два варіанти мають найбільшу частоту, то розподіл називається бімодальним, якщо більше двох, то мультимодальним.
Медіана - це величина ознаки, яка має варіанти, вона ділить сукупність на дві рівні частини - із значенням ознаки більшими медіани і із значеннями меншими медіани, медіана - середина варіаційного ряду.
Обчислення моди і медіани залежить від того, якого типу варіаційний ряд.
У ранжируваному ряді моди немає, а медіана - середина ряду.
Для визначення моди і медіани в інтервальному ряді застосовують такі формули:
М0
- мода, х0-нижня
межа модального інтервалу, і
довжина модального інтервалу,
- частота модального
інтервалу,
-
частота інтервалу,
попереднього модальному,
-
частота інтервалу, який іде за модальним.
Ме
- медіана,
і-довжина
медіанного інтервалу, x0
- нижня межа медіанного
інтервалу,
- накопичена частота
інтервалу, який передував медіанному,
- частота медіанного
інтервалу. Якщо
не є ціле число, округлюємо
його до наступного за ним цілого.
Рішення типових задач.
Завдання 1.Задан дискретний ряд - ряд розподілу сімей за кількістю дітей.
-
Групи сімей за кількістю, дітей
0
1
2
3
4
5
6
Число сімей
10
30
75
45
20
15
6
Мода значення 2, так як цьому значенню відповідає найбільша частота 75.
Медіанний
інтервал визначається так,
/2=(10+30+75+45+20+15+6)/2=201/2=100,5
Якщо поділивши, отримуємо неціле число, то округлюємо до наступного за ним цілого: 101.
Частота накопичення f’ 10 40 115 160 180 195 201
Знаходимо варіант з номером 101, йому відповідає значення ознаки, яке дорівнює 2
Висновок: Мо=Ме=2.
Завдання 2.Приклад інтервального ряду Розподіл господарств області за урожайністю зернових культур.
Визначити моду, медіану та середню арифметичну урожайності.
-
Групи господарств
за урожайністю
xj
Число
господарств
fj
Частота
накопичення
Середина
інтервалу
x’j
x’j fj
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
Всього
6
9
20
41
26
21
14
5
1
143
6
15
35
79
102
123
137
142
143
12,5
17.5
22,5
27,5
32,5
37,5
42.5
47,5
52.5
75
1575
450
1127,5
845
787,5
595
237,5
525
4327,5
Модальний інтервал - четвертий, частота в цьому інтервалі найбільша -41
тобто найбільш поширена урожайність є близько 28 ц/га.
Медіанний інтервал визначається так, /2 =143/2=71,572
Варіант з номером 72 знаходиться у четвертому інтервалі, значить він медіанний.
Середня арифметична урожайності
Половина господарств області зібрала урожай менш 30,3ц/га, а інша — більш 30,3ц/га.
Завдання 3. Визначити модальний та медіанний вік чоловіків-одинаків за даними перепису населення України 1989 р.
Вік х, років До 20 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70 і старше Разом
Частка вікової групи, % 4,9 20,1 15,5 15,2 17,0 13,0 14,3 100,0
Розв'язування. Модальний віковий інтервал становить від 20 до 29 років, бо йому відповідає найбільша частота (fm=20,l), сусідні значення відповідно 4,9 та 15,5. Довжина інтервалу дорівнює 9, х0=20.
тобто найбільш поширеним віком серед чоловіків-одинаків є вік близько 27 років.
Порядковий номер центральної варіанти відповідає частці 100/2=50.
В
ік
х, років
До 20 20—29 30—39 40—49 50—59
60—69 70 і старше
Частота накопичення f’ 4,9 25 40,5 55,7 72,7 85,7 100
У графі накопичених частот варіанта 50 знаходиться в групі 40—49 років.
Отже,
Висновки: Половина чоловіків-одинаків перебуває у віці до 45,6 року, а інша — старші 45,6 року.