Формула полной вероятности. Формула Байеса

Можно вывести формулы, позволяющие вычислять вероятности сложных событий, пользуясь знанием условных и безусловных вероятностей других более простых событий.

Пусть событие может произойти с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместимых событий.

События называются гипотезами.

Теорема (формула полных вероятностей). Пусть событие может произойти при условии появления одной из гипотез . Тогда вероятность появления события равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности события при каждой гипотезе :

(5)

Формула (5) называется формулой полной вероятности.

Доказательство. Поскольку гипотезы , попарно несовместны, то попарно несовместны и их произведения с событием , т.е. несовместны пересечения и при . Обозначим . Поскольку

образуют полную группу событий, то событие - достоверное, и его вероятность равна единице: . Из теоремы сложения с учётом свойств событий , и - достоверное событие, получаем

.

Подставим в предыдущую формулу значение .

.

Один из дистрибутивных законов выглядит так

.

Положим в последней формуле и

.

Далее полагая в формуле , запишем . С учётом сказанного запишем и

. Таким образом, дистрибутивный закон можно записать в виде

.

Закон дистрибутивности для случая трёх множеств было доказан ранее. Это доказательство можно обобщить на случай множеств больше чем , например . Поэтому мы можем записать

.

Таким образом, формула доказана.

Применим для каждого слагаемого последней формулы теорему умножения вероятностей

(6)

Теорема доказана.

Теорема (формула Байеса). Пусть - полная группа попарно несовместимых событий и - произвольное событие, которое может произойти с одним из них. Тогда для каждого справедливо равенство

(7)

Формула (6) называется формулой Байеса.

Доказательство. По определению условной вероятности,

,

где может быть найдена с помощью теоремы умножения, а находится по формуле полных вероятностей. Теорема доказана.

Формула Байеса позволяет производить пересчёт вероятностей гипотез с учётом того, что событие произошло: если до эксперимента вероятности гипотез были равны , то после того, как стало известно, что опыт закончился наступлением события , вероятности этих гипотез изменились и стали равными .

Задача. Фирма имеет три источника поставки комплектующих - фирмы . На долю фирмы приходится 50% общего объёма поставок,

- 30% и - 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой деталей – бракованные, фирмой - 5% и фирмой - 6%. Какова вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы ?

Решение. Пусть событие - появление бракованной детали. Вероятности гипотез о том, что деталь поставлена фирмами , по условию задачи равны . Условные вероятности появления при этом бракованной детали будут (по условию)

.

По формуле Байеса имеем

.

По формуле полных вероятностей представим в виде

.

Далее

,

.

.

Сложные события, представляющие собой серию опытов и комбинаций всех возможных исходов, можно представить с помощью <<дерева вероятностей>>, на котором отражаются последовательность экспериментов и их результаты. Опыты представлены последовательностью кружков, а каждый исход - <<ветвью>> (линией) от соответствующего кружка. Вероятность соответствующего исхода указана около <<ветви>>, а вероятность всего сложного события – в её конце:

.

годная (0,9)

брак (0,1)

годная (0,95)

брак (0,05)

годная (0,94)

брак (0,06)

Задача. На двух станках выпускаются детали, которые поступают на склад, где они перемешиваются. Вероятность брака для первого станка составляет , для второго - . Первым станком выпускается 60% всех деталей. Какова вероятность при случайном извлечении детали со склада получить бракованную деталь, и какой ущерб будет понесён из-за второго станка?

Решение. Обозначим - деталь с первого станка, - деталь со второго станка, и . Событие - это появление бракованной детали. Условные вероятности события равны

.

Отсюда

.

Ущерб за счёт второго станка моно подсчитать по формуле

,

или 57% от общего убытка.

Вероятностные пространства общего вида.

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Многие реальные случайные эксперименты не укладываются в рамки дискретной модели с конечным или счётным пространством . Например, в эксперименте с вращающейся рулеткой, угол который определяет положение стрелки после её остановки, может принимать любое значение из промежутка . Таким образом, мы имеем дело с пространством , состоящим из бесконечного или даже несчётного множества точек. Считая, что стрелка вращается в горизонтальной плоскости с очень малым трением, естественно постулировать <<равновозможность>> любого её положения и, следовательно, приписать веем точкам из промежутка одну и ту же вероятность .

Покажем, что если в качестве взять ненулевое число, то получим противоречие с основными свойствами вероятностей. Действительно, пусть событие состоит из точек вида , . По определению, (здесь использовано условие равновероятности событий). Очевидно, что при любом можно взять такое , что , а это противоречит основному свойству вероятности. Из проведенного рассуждения следует, что в случае с рулеткой должно быть равно нулю. Однако тогда мы приходим к <<парадоксу>>: событие возможно, но его вероятность равна нулю. Парадокс этот кажущийся, так как на самом деле данный пример показывает необходимость применения другого, более общего подхода к введению понятия вероятности случайного события, которое работало бы не только в случае дискретного пространства элементарных исходов.

В случае дискретного пространства построение теории состояло из следующих шагов:

1) под событием понималось любое подмножество пространства ;

2) вначале вероятности определялись для элементарных исходов как отображение , удовлетворяя условиям

а) и б) , а затем – для сложных событий по формуле

.

В общем случае, когда пространство элементарных событий может быть боле, чем счётным, построение теории вероятностей базируется на подходе, предложенном А.Н. Колмогоровым, идея которого заключается в том, что не все подмножества пространства рассматриваются как события. Предполагается, что события – это некоторые подмножества из , совокупность которых замкнута относительно операций конечного или счётного числа объединений и пересечений. Только этим подмножествам – событиям – ставятся в соответствие числа, называемые вероятностями, причём так, что к ним остаётся применимой частотная интерпретация, а <<дискретный>> подход в рамках общего становится частным случаем. Рассмотрим случай недискретного пространства.

Пусть - произвольное пространство элементарных событий, а - некоторый класс подмножеств множества .

Определение. Алгеброй событий назовём непустую систему подмножеств , удовлетворяющую следующим аксиомам:

1) если подмножество принадлежит (является событием), то дополнение также принадлежит (также является событием);

2) если подмножества и принадлежат (являются событиями), то и объединение принадлежит (также является событием).

Поскольку любую из рассмотренных операций над подмножествами можно получить, используя формулы де Моргана, с помощью только двух операций дополнения и объединения

, ,

пересечение и разность двух событий также будут событиями:

, при любых , . Отсюда следует, что и

. Простейшей системой подмножеств, являющейся алгеброй, является система, состоящая из полного и пустого множеств: . В самом деле, и входят в этот класс, и результатами операций объединения, дополнения и пересечения над этими множествами вновь служат эти множества: . Система всех подмножеств множества , очевидно, является - алгеброй.

Определение. Алгебра событий называется - алгеброй, или борелевской алгеброй, если объединение счётного числа элементов из также является элементом из , т.е. из того, что , следует

.

Таким образом, - алгебру событий можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов , замкнутую относительно счётного числа теоретико-множественных операций. Тривиальная

- алгебра событий состоит из полного и пустого множеств . Любая - алгебра событий является одновременно и алгеброй событий. Обратное неверно, т.е. существуют алгебры событий, не являющиеся - алгебрами. Элементы - алгебры называются случайными событиями. Под операциями над случайными событиями понимают операции над соответствующими множествами.

Примером - алгебры служит класс из четырёх событий . Действительно,

.

Определение. Вероятностью события или вероятностной мерой называется числовая функция, заданная на - алгебре событий , которая каждому событию ставит в соответствие число так, что выполняются следующие четыре аксиомы:

1. для любого (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. для любых , (аксиома конечной аддитивности).

4. , если , для любых , для любого (аксиома счётной аддитивности).

Тройку чисел , в которой - пространство элементарных событий, - - алгебра некоторых подмножеств из (не обязательно всех),

- вероятностная мера, определённая на - алгебре и удовлетворяющая аксиомам - , называют вероятностным пространством.

Из аксиом - вытекают основные свойства вероятности.

1. (вероятность невозможного события).

2. Для любого события справедливо неравенство .

3. (вероятность дополнительного события), так как .

4. Если , то . Действительно, так как , то по теореме сложения несовместимых событий , и из аксиомы неотрицательности следует сделанное утверждение.

5. (вероятность объединения двух событий). Действительно, так как и , то из аксиомы сложения , . Отсюда при получается нужное доказательство.

6. В силу неотрицательности имеем .

7. Свойство 5 допускает очевидное обобщение для случая произвольного числа слагаемых:

Свойство 7 доказывается методом математической индукции по .

8. Для любого числа попарно непересекающихся событий имеет место формула

.

Вероятность , определённая на - алгебре , называется распределением вероятностей на пространстве элементарных событий .