
- •Введение
- •Фьючерс и Форвард
- •Эконометрика
- •Понятие множества и способы его задания
- •Подмножества
- •Операции над множествами
- •Свойства операций над множествами
- •2. Проведём теперь доказательство справа налево .
- •Операция вычитания множеств
- •Принцип двойственности
- •Классическая вероятностная модель
- •Комбинаторика
- •Условная вероятность
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
Условная вероятность
Говорить
о вероятности
как о мере возможности появления
случайного события
имеет смысл только при осуществлении
определённого комплекса условий
эксперимента, в рамках которого это
случайное событие
может происходить или не происходить.
При изменении условий эксперимента,
вообще говоря, изменится и вероятность.
Пусть, например, в урне два белых шара
и три чёрных. Два игрока последовательно
вынимают из урны по одному шару. Событие
- появление белого шара у первого лица,
событие
- появление белого шара у второго лица.
Вероятность события
без учёта того, произошло или нет событие
,
равна
,
но если известно, что событие
произошло, то вероятность события
очевидно равна
.
Следовательно, вероятность одного
события может зависеть от того, учитывается
или нет наступление другого события.
Рассмотрим определение условной
вероятности с позиции частотной
интерпретации вероятности. Пусть
случайный эксперимент повторяется
раз. При этом событие
появляется в этой серии
,
а событие
-
раз. Обозначим через
число тех повторений эксперимента,
которые закончилась одновременным
появлением событий
и
.
Тогда
- частота наступления события
,
а
- доля тех случаев, когда эксперимент
заканчивался наступлением события
среди только тех случаев, в которых
обязательно происходили событие
.
Это число называется условной частотой
наступления события
при условии, что событие
произошло, или, коротко, условной
вероятностью события
при условии события
.
В
соответствии с частотной интерпретацией
вероятности при
частота события
стремится к вероятности события
.
Покажем, что условная частота также
<<имеет предел>>:
.
Предел
условной частоты называется условной
вероятностью
события
при условии
и обозначается
.
Тогда из полученного соотношения
следует, что
.
Это предел одной и той же последовательности.
Эти рассуждения приводят к математическому
определению понятия <<условная
вероятность>>.
Определение.
Условной
вероятностью события
при условии
называется число
,
равное
.
Из равенства для условной вероятности вытекает теорема умножения вероятностей.
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое из них произошло:
.
Следствие. Вероятность произведения нескольких событий равна вероятности этих событий, причём вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
.
Для условной вероятности сохраняются все свойства безусловной вероятности:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
если
,
то
;
6)
если событие
,
то
;
7)
если
,
то
;
Задача
1
. Кубик
с пронумерованными гранями подбрасывается
два раза. Пусть
событие
состоит в том, что сумма выпавших очков
не больше
,
а событие
- состоит в том, что выпадает хотя бы
одна единица.
Найти
условные вероятности
,
.
Решение. Пространство элементарных событий
,
состоит
из
событий. (Отметим, что
и
- разные события, так как в противном
случае нарушается гипотеза о
равновероятности исходов:
выпадает в два раза чаще, чем
).
Событие
;
Событие
.
Анализируя множества и видим, что они содержат подмножество
,
,
состоящее из
- ми элементов (событий). Таким образом,
число повторений эксперимента, в котором
одновременно появляются события
и
равно
,
.
Отсюда
,
.
Задача
2.
На
складе имеется
деталей, произведенных на двух станках:
- на первом станке и
деталей – на втором. Среди
деталей имеется
доброкачественных деталей. Какова
вероятность при случайном извлечении
детали со склада получить доброкачественную
деталь, изготовленную на первом станке?
Случайное извлечение означает, что элементарные события равновероятны.
Решение.
Событие
- деталь, случайно выбранная среди
,
окажется произведенной на первом станке,
т.е. из
;
событие
- деталь, которая окажется доброкачественной;
- деталь и доброкачественная, и с первого
станка. Отсюда получаем
.
По существу, рассматривая условные - и безусловные - - вероятности в связи с некоторым реальным комплексом условий, мы имеем дело с двумя экспериментами - <исходным >>, заданным некоторым реальным комплексом условий, и <<новым>>, с расширенным комплексом условий, в который помимо исходного реального комплекса условий включены дополнительные условия, приводящие к обязательному осуществлению события
.
<<Исходный>>
эксперимент формально описывается
пространством элементарных исходов
и безусловными вероятностями, заданными
на нём.
<<Новому>>
эксперименту, учитывающему, что событие
происходит, соответствуют новое
пространство элементарных исходов
и новые вероятности – условные.
Пространство элементарных исходов
состоит из тех элементарных исходов
пространства
,
которые благоприятствуют наступлению
события
,
т.е.
.