Операция вычитания множеств

Разностью множеств и называется совокупность тех элементов из , которые не содержатся в . При этом не предполагается, что . Иногда вместо выражения используется соотношение .

В теории меры используется симметричная разность двух множеств и .

Симметричная разность определяется как сумма разностей и .

На этом рисунке заштрихованная область представляет собой разность множеств и .

На этом рисунке заштрихованная область представляет собой симметричную разность множеств и .

Таким образом, по определению

(1)

Упражнение. Показать, что

(2)

Пусть элемент принадлежит множеству, стоящему в правой части равенства (1) . Это означает, что входит в ту часть множества, которая не содержится в или входит в ту часть множества, которая не содержится в . C другой стороны множество состоит из элементов принадлежащих хотя бы одному из множеств и . Кроме того множество состоит из элементов, принадлежащих как так и . По определению разности двух множеств и - это совокупность тех элементов, из которые не содержатся в . Из сказанного ясно, что если из объединения множеств и вычесть их пересечение, то оставшаяся часть элементов полученного множества как раз и представляет собой симметрическую разность двух множеств и .

В дальнейшем будут рассматриваться различные множества такие, что все они являются подмножествами некоторого основного множества . Например, различные множества точек на числовой прямой. В этом случае разность для каждого называется дополнением множества и часто обозначается или . Для дополнения также используют обозначение .

Принцип двойственности

Принцип двойственности основан на следующих двух соотношениях:

1. Дополнение суммы равно пересечению дополнений

(3)

2. Дополнение пересечения равно сумме дополнений

(4)

Принцип двойственности состоит в том, что из любой теоремы, относящейся к системе подмножеств фиксированного множества , совершенно автоматически может быть получена другая – двойственная – теорема путём замены множеств – их пересечением, а пересечения суммой. Докажем соотношение (3).

Пусть . Это означает, что не входит в объединение ,

т.е. не входит ни в одно из множеств . Следовательно, принадлежит каждому из дополнений и поэтому . Обратно, пусть

, т.е. входит в каждое ; тогда не входит ни в одно из множеств , т.е. не принадлежит их сумме , а тогда . Равенство (3) доказано.

Отношения между событиями можно интерпретировать как соотношения между множествами. Ранее в нашем курсе использовалась графическая модель, которая называлась диаграммой Эйлера-Вьенна.

Отношения между событиями можно интерпретировать как соотношения между множествами. Поэтому введенные ранее отношения между множествами можно переформулировать и сказать, что это отношения между событиями.

Таким образом, разностью двух событий и называется такое событие

, которое состоит в том, что происходит событие и не происходит событие .

С обытие называется дополнительным (дополнением) к событию , если оно происходит всякий раз, когда не происходит событие . События и называются противоположными событиями.

Симметрической разностью событий и называется событие , в которое входят те элементарные события, которые входят или в или в , но не входят в их пересечение . Диаграмма Эйлера-Вьенна для симметрической разности была приведена ранее.

<<Множество>>, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Два события и называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого. Очевидно, если события и несовместны, их пересечение является невозможным событием: .

События образуют полную группу событий, если в результате эксперимента непременно произойдет, хотя одно из них. В этом случае их сумма является достоверным событием. Например, событие несовместно с событием и вместе с ним образует полную группу.

В разделе подмножества рассматривается понятие универсального множества, или универсума. Универсальным называется множество, элементами которого являются все множества некоторой задачи или теории. Очевидно, что в теории вероятностей универсальным множеством является множество (пространство) элементарных событий . Полагая , перепишем свойства операций над множествами в следующем виде.

1. Операции объединения с множеством элементарных событий и пустым множествами:

Сюда же включим идемпотентность .

2. Операции пересечения с множеством элементарных событий и пустым множествами:

Сюда же включим идемпотентность .

3. Законы дополнения:

.

4. Принцип двойственности, или формулы де Моргана.

5. Коммутативность операций объединения и пересечения.

6. Ассоциативность операций объединения и пересечения.

.

7. Дистрибутивность операции объединения относительно пересечения.

.

8. Дистрибутивность операции пересечения относительно объединения.

.

Если события и несовместны, то наряду со знаком << >> для их объединения употребляют знак <<+>>. Отметим, что все действия над событиями можно получить с помощью двух действий – объединения и дополнения или пересечения и дополнения.

Все действия над событиями в точности также как и случае выполнения операций над множествами можно получить с помощью двух действий – объединении и дополнения или пересечения и дополнения. Например, используя формулы де Моргана, можно получить соотношение

.

Рассмотрим доказательство этой формулы. Обозначим и . Рассмотрим некоторый элемент множества . Очевидно, что он принадлежит множеству, т.е. . Множество по определению задаётся условием: . Другими словами одновременно принадлежит множеству и не принадлежит множеству . Используя определение дополнения множества : , запишем .

С учётом сказанного зададим множество условием: . Если то он принадлежит : . С учётом сказанного запишем определение множества : . Мы провели доказательство по схеме слева направо. Аналогично можно провести доказательство по схеме справа налево.

Вероятность в дискретном пространстве

элементарных событий.

Определение. Говорят, что в пространстве элементарных событий, конечном или счётном , задана вероятность, если каждому элементарному событию поставлено в соответствие неотрицательное число

и сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходов равна единице: , т.е. вероятность события – это числовая функция, определённая на пространстве элементарных событий.

Определение. Вероятностью события называется сумма вероятностей всех элементарных исходов, входящих в , т.е. , таким образом:

1) если - если пространство элементарных событий, то ;

2) вероятность события удовлетворяет неравенству .

Теорема 1 . (теорема сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е. если , то .

Доказательство. Проведём его для случая конечного числа исходов. Пусть пространство элементарных событий содержит элементарных исходов, из благоприятны событию и благоприятны событию , т.е. и , причём нет исходов, одновременно благоприятных и . Отсюда следует, что событию благоприятны элементарных исхода, и вероятность этого события вычисляется по формуле

.

Теорема доказана.

Доказательство можно перенести на случай счётного пространства , когда вместо конечных сумм рассматриваются суммы со счётным числом слагаемых – сходящиеся ряды.

Следствия.

1. Теорему 1 можно распространить на любое конечное число слагаемых, если все события попарно несовместны:

.

2. , так как , то .

3. Если , то .

Теорема 2. (теорема сложения вероятностей событий). Если события и пересекаются: , то

,

где - подмножества пространства элементарных событий.

Доказательство. Если и - совместные события, то наступит тогда, когда наступит одно из несовместных событий , или . Согласно теореме сложения несовместных событий, имеем

.

Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий или .

Тогда вероятность события равна .

Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий или .

Тогда вероятность события равна . Отсюда получаем доказательство теоремы:

.

Следствие.

1. Вероятность пересечения двух событий вычисляется по формуле

.

2. Вероятность суммы любого числа совместных событий вычисляется по формуле

.

3. Из теорем 1 и 2 для любых событий и следует

.