Понятие множества и способы его задания

Понятие множества является первичным в математике. Поэтому его нельзя определить с помощью других более простых понятий. Интуитивно множество рассматривают как нечто целое, состоящее из объектов, которые называют элементами. Иногда множество рассматривают как объединение различных объектов, обладающих каким - то общим признаком. Природа этих объектов может быть произвольной. Например, книги в библиотеке. При этом мы отвлекаемся от того какие это книги; художественная литера­тура, учебники по каким – то дисциплинам и т.п.

Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита:

. Если необходимо, то используют индексы при обозначении мно­жеств: и так далее. Для обозначения элементов множеств используют малые буквы латинского алфавита: , также возможно с индексами:

и т.д.

Принадлежность элемента множеству записывается так: . Эта запись читается так: элемент принадлежит множеству . Здесь есть символ принадлежности. Если элемент не входит в состав множества , записывают и читают элемент не принадлежит множеству . Полагают, что всякое множество имеет лишь один экземпляр одного и того же элемента, если иное не оговорено. Если множество имеет несколько экземпляров одного и того же элемента его называют мультимножеством.

Способы задания множеств различные. Наиболее простой способ задать множество – перечислить все составляющие его элементы:

Это задание множества в явной форме. Кроме того множество можно задать если указать условие или свойство , которому должны удовлетворять все элементы задаваемого множества. Свойство называют предикатом. Это свойство позволяет из всей совокупности объектов любого происхождения распознать элементы данного множества.

Пусть это свойство задано предикатом , который является сокращенной записью предложения, << есть чётное число>>. В этом случае имеет место запись

.

Эта запись читается так: множество состоит из элементов таких, что (что есть чётное число). Вместо вертикальной черты, отделяющей обозначение элемента множества от свойства элементов множества, используется также двоеточие:

.

Иногда свойство, которым обладают элементы рассматриваемого множества, задают формулой

.

Здесь обозначает множество всех действительных чисел.

В математике рассматриваются также множество, не имеющее элементов. Такое множество называют пустым и обозначают . Например, множество

. Здесь - множество действительных чисел.

Множества между собой могут находиться в различных отношениях.

Два множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Этот факт записывают так: . Пусть

и .

В этом случае имеем: .

Подмножества

Рассмотрим множество . Рассмотрим часть элементов множества . Эта часть элементов множества также образует множество. Такое множество называют подмножеством множества .

Множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества является также элементом множества . В сокращенной форме это записывают так и читают,

<< есть подмножество >> или << содержится в >>.

Исходя из определения подмножества, заключаем, что само множество является собственным подмножеством. Поэтому можно записать как .

Тот факт, что рассматриваемое подмножество множества может совпадать с множеством , отношение <<быть подмножеством>> записывается также как . Альтернативно используют запись или . В этом случае говорят, что множество содержит подмножество .

Пусть имеется множество всех подмножеств множества . Обозначим его как .

Пусть, например, имеется множество . Тогда имеем

.

Важным понятиям в теории множеств является понятие универсального множества, или универсума. Универсальным называют множество, элементами которого являются все множества некоторой задачи или теории. Будем обозначать универсальное множество знаком . Если и есть любые два множества, то .

Для наглядного изображения множеств используются диаграммы Эйлера-Вьенна.

На каждой такой диаграмме прямоугольником изображают универсальное множество . Все другие множества, которые являются подмножествами универсального множества, изображают внутри прямоугольника в виде некоторой его части, ограниченной замкнутой линией. Из диаграммы Эйлера-Венна, представленной на рисунке видно, что множество является подмножеством множества . Множества и не имеют общих элементов с множествами и . Множества и напротив, имеют общие элементы, принадлежащие как множеству , так и множеству .