3) Минимизация интегрального квадратичного функционала

в общем случае не эквивалентна минимизации времени переходного процесса. Однако можно показать, что переходные процессы в системах, оптимальных по интегральным квадратичным функционалам, ускоряются при увеличении значений весовых множителей. Следовательно, можно приблизиться к задаче максимального быстродействия, решив задачу поиска такой величины весового множителя при котором практическое время переходного процесса имеет минимальное значение.

Текст программы:

Текст основной программы:

k=fminsearch('kvadr_fun',[10,10,10])

kvadr_fun:

function f=kvadr_fun(k)

V0=5.65;

L=51;

r21=-0.59;

r31=5.32;

q21=0.94*1.3;

q31=-2.41;

s21=-0.29;

s31=-3.4;

W=V0/L;

a11=-r31*W;

a12=-q31*(W^2);

a21=-r21;

a22=-q21*W;

b11=-s31*(W^2);

b21=-s21*W;

x1=0;

x2=0;

x3=10*3.14/180;

t=0;

dt=0.1;

J=0;

while (x3>0.017)

u=-k(1)*x1-k(2)*x2-k(3)*x3;

if(abs(u)>0.61)

u=sign(u)*0.61;

else

u=u;

end

dx1=(a11*x1+a12*x2+u*b11)*dt;

dx2=(a21*x1+a22*x2+u*b21)*dt;

dx3=x1*dt;

dJ=(100*x3^2+u^2)*dt;

x1=x1+dx1;

x2=x2+dx2;

x3=x3+dx3;

t=t+dt;

J=J+dJ;

end

f=J

Текст программы graphic:

V0=6.17;

L=39;

r21=-0.69;

r31=6.14;

q21=1.22;

q31=-3.12;

s21=-0.44;

s31=-3.1;

W=V0/L;

a11=-r31*W;

a12=-q31*(W^2);

a21=-r21;

a22=-q21*W;

b11=-s31*(W^2);

b21=-s21*W;

x1(1)=0;

x2(1)=0;

x3(1)=10*3.14/180;

t(1)=0;

dt=0.1;

for i=1:500

u=-14.6823*x1(i)+0.6485*x2(i)-11.1203*x3(i);

if(abs(u)>0.61)

u=sign(u)*0.61;

else

u=u;

end

dx1=(a11*x1+a12*x2+u*b11)*dt;

dx2=(a21*x1+a22*x2+u*b21)*dt;

dx3(i)=x1(i)*dt;

x1(i+1)=x1(i)+dx1(i);

x2(i+1)=x2(i)+dx2(i);

x3(i+1)=x3(i)+dx3(i);

t(i+1)=t(i)+dt;

end

plot(t,x3,t,x1,t,x2)

legend('x1','x2','x3');

grid;

Результаты работы программы:

Длительность переходного процесса 24,54 с.

Рис. 4. Переходные процессы в системе.

Анализ чувствительности полученных различными методами алгоритмов управления к изменению параметров объекта управления

Анализ переходных процессов системы при увеличении параметра объекта q21 на 30%.

1. Метод, основанный на теореме об n интервалах

Рис. 5. Переходные процессы в системе

(время переходного процесса: 20,11 с, увеличилось на 44 %).

2. Метод параметрической оптимизации линейного закона управления

Рис. 6. Переходные процессы в системе

(время переходного процесса: 20,17 с, увеличилось на 32 %).

3. Метод минимизации интегрального квадратичного функционала

Рис. 6. Переходные процессы в системе

(время переходного процесса: 25,71 с, увеличилось на 4,7 %).

Выбор одного из полученных алгоритмов для практической реализации

Выбор одного из алгоритмов проводится путем их сравнения по следующим показателям:

- степень достижения поставленной цели (время переходного процесса);

- сложность задач, решаемых на этапе проектирования;

- сложность реализации алгоритма управления;

- чувствительность основного показателя качества (времени переходного процесса) к изменению параметров математической модели объекта управления.

1. Степень достижения поставленной цели (время переходного процесса):

1. Метод, основанный на теореме об N интервалах (13,86 с);

2. Метод параметрической оптимизации линейного закона управления (15,25 с);

3. Метод минимизации интегрального квадратичного функционала (24,54).

2. Сложность задач, решаемых на этапе проектирования:

1. Метод параметрической оптимизации линейного закона управления;

2. Метод минимизации интегрального квадратичного функционала;

3. Метод, основанный на теореме об N интервалах.

3. Сложность реализации алгоритма управления:

1. Метод, основанный на теореме об N интервалах;

2. Метод параметрической оптимизации линейного закона управления;

3. Метод минимизации интегрального квадратичного функционала.

4. Чувствительность основного показателя качества (времени переходного процесса) к изменению параметров математической модели объекта управления:

1. Метод минимизации интегрального квадратичного функционала (изменения на 4,7%);

2. Метод параметрической оптимизации линейного закона управления (изменения на 32%);

3. Метод, основанный на теореме об N интервалах (не выполнение поставленной задачи).

Выводы: метод, основанный на теореме об N интервалах неприменим, т.к. имеет большую чувствительность к изменениям параметра объекта управления и т.к. модель, используемая в расчётах, является неточной и линеаризованной. Наилучшие показатели качества продемонстрировал метод минимизации интегрального квадратичного функционала, но в случае сильных финансовых ограничений и не слишком строгих требованиях к времени переходного процесса можно использовать метод параметрической оптимизации линейного закона управления.