§ 4.4. Свободное движение тела

4.8. Тело, которому можно придать любое перемещение в пространстве из занимаемого им положения называется свободным телом.

4.9. Свободным движением тела называется движение свободного тела.

1. Уравнения движения свободного тела.

Движение свободного тела рассматривается в неподвижной системе отсчета с системой координат . Форма и размеры тела предполагаются известными. Выберем в теле произвольную точку , называемую полюсом, и свяжем с этой точкой две системы координат.

Система координат движется вместе с телом поступательно, а её оси параллельны соответствующим осям системы координат . Это вспомогательная система координат вводится для отсчета углов. Вторая система координат жестко связана с телом и повторяет все его движения.

Положение свободного тела в пространстве будет известно, если задать или знать в каждый момент времени координаты , , полюса и три угла Эйлера , , (см. рис. 4.5):

, , , , , (4.17)

4.10. Уравнения (4.17) называются уравнениями свободного движения тела.

Как же движется свободное тело? Если, например, три последние функции углов постоянны, то тело движется поступательно – оси системы координат , связанные с телом, остаются параллельными самим себе. Другими словами, первые три функции описывают поступательную составляющую свободного движения. Пусть теперь первые три функции – постоянны. Тело как бы зависло полюсом в некоторой точке пространства. Если три угловые функции при этом меняются, то тело совершает сферическое движение с неподвижной точкой . Вывод: движение свободного тела «складывается» из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как и произвольно выбранный полюс , и сферического движения относительно полюса .

2. Скорости и ускорения точек тела при свободном движении

4.11. Теорема. Вектор скорости произвольной точки тела равен геометрической сумме вектора скорости полюса и вектора скорости точки в сферическом движении тела вокруг полюса.

или (4.18)

Доказательство. Движение произвольной точки зададим векторным способом через движение полюса (рис.4.6). Тогда . Продифференцируем последнее равенство по времени. или , где - вектор скорости точки в неподвижной системе координат , - вектор скорости полюса в неподвижной системе координат . - вектор скорости точки в системе координат , то есть вектор скорости точки в её сферическом движении относительно полюса . Действительно, , так как тело абсолютно твердое. Но - радиус - вектор с началом в полюсе . Следовательно, вектор изменяет лишь свое направления в пространстве. В системе координат он лишь вращается вокруг полюса . Если положение мгновенной оси вращения тела в сферическом движении и вектор мгновенной угловой скорости тела известны, то c учетом формулы Эйлера (4.4) имеем:

. (4.18)

Окончательно:

. (4.19)

Что и требовалось доказать.

4.12. Теорема Ривальса для свободного движения тела. Вектор полного ускорения любой точки твердого тела при его свободном движении равен геометрической сумме вектора ускорения полюса, вектора осестремительного и вектора вращательного ускорений.

или , (4.20)

где , (4.21)

Доказательство. Продифференцируем (4.19) по времени. С учетом формулы (4.3) получим:

Или с учетом (4.18) . Что и требовалось доказать.

Вопросы для самоконтроля к главе 4

1.Какое движение твердого тела называется сферическим?

2. Запишите уравнения сферического движения тела.

3. Опишите механизм сферического движения твердого тела.

4. Что называется мгновенной осью вращения и мгновенной угловой скоростью вращения тела при сферическом движении?

5. Запишите формулу для вектора линейной скорости точки тела, совершающего сферическое движение.

6. Как направлен вектор линейной скорости точки при сферическом движении тела?

7. Запишите формулу для вектора линейного ускорения точки тела, совершающего сферическое движение.

8. Как направлены векторы вращательного и осестремительного ускорений точки при сферическом движении?

9. Какое движение твердого тела называется свободным?

10. Запишите уравнения свободного движения тела.

11. Проанализируйте уравнения свободного движения тела и опишите механизм свободного движения твердого тела.

13. Что называется вектором мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения тела при его свободном движении?

13. Запишите формулу для вектора скорости произвольной точки тела, совершающего свободное движение.

14. Сформулируйте теорему Ривальса об ускорении точки при свободном движении тела.