4.7. Теорема Ривальса: Вектор полного ускорения любой точки твердого тела, совершающего сферическое движение, равен сумме векторов вращательного и осестремительного ускорений.

или (4.6)

где , . (4.7)

Действительно, дифференцируя по времени (4.4) по аналогии с формулой (2.22) получим формулу (4.6). Здесь - вектор полного ускорения точки . - вектор вращательного ускорения точки. Он перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы , и направлен по дуговой стрелке (направление определяется по правилу векторного произведения). В общем случае он не направлен по касательной к траектории, как вектор скорости точки , так как векторы и не лежат на одной прямой (рис.4.4). - вектор осестремительного ускорения точки тела. Этот вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и направлен к мгновенной оси вращения по перпендикуляру (рис.4.4).

§ 4.3. Определение кинематических характеристик сферического движения твердого тела аналитически

Пусть заданы уравнения сферического движения твердого тела (4.1). Векторы мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения представим через их проекции и на оси неподвижной системы координат .

, , (4.8)

Здесь - единичные векторы неподвижных осей , , соответственно.

Проекции вектора угловой скорости . Используя (4.2), можно получить формулы:

(4.9)

Проекции вектора углового ускорения. Так как мгновенный вектор углового ускорения связан с вектором угловой скорости по формуле (4.3), то в неподвижной системе координат имеем:

, , (4.10)

Зная проекции векторов, можно определить и сами векторы , по формулам типа (1.24), (1.25).

Проекции вектора на подвижные оси системы координат даются формулами (вывод тоже не приводится):

. (4.11)

Уравнения (4.9), (4.11) называются кинематическими уравнениями Эйлера.

Пусть вектор линейной скорости точки тела, совершающего сферическое движение, и радиус вектор точки в неподвижной системе координат представлены в виде:

, (4.12)

Проекции вектора скорости точки в неподвижной системе координат можно получить из формулы Эйлера (4.4), используя представление векторного произведения через определитель:

= . (4.13)

Разлагая определитель по элементам первой строки, и приравнивая коэффициенты, стоящие перед одноименными единичными векторами, с учетом (4.12) будем иметь:

(4.14)

Все величины, входящие в правую часть формул (4.14), являются функциями времени. Проекции определяются по формулам (4.9). Координаты точки могут быть определены по координатам точки в подвижной системе координат и уравнениям движения тела (4.1). Если проекции вычислены, то по формулам вида (1.24) определяется и модуль вектора скорости:

(4.15)

Заменив в (4.13) на , а на для проекций вектора скорости в подвижной системе координат с учетом (4.9) получим:

(4.16)