9 Критерії нормальності

Критеріїв нормальності оцінки ймовірності дають безліч {x₁, ... , х_n}, які походять від нормального розподілу. Зазвичай нульова гіпотеза H₀ вказує на те, що спостереження, які розподілені по нормальному закону з невизначеним середнім значенням μ і дисперсією σ², в порівнянні з альтернативними H_а, роблять розподіл довільним. Велика кількість тестів (понад 40) було розроблені для цієї проблеми, найбільш відомі з них перераховані нижче:

1. "Візуальні" тести більш інтуїтивно привабливі, проте суб'єктивні в той же час, так як вони покладаються на неформальні людські судження, які приймають або відхиляють нульову гіпотезу:

а) Q-Q ділянка – це ділянка відсортованих значень з набору даних, в порівнянні з очікуваними значеннями відповідних квантилів від стандартного нормального розподілу. Тобто, це ділянка точки виду (Φ⁻¹(p_k), x_(k)), де отримані точки p_k дорівнюють p_k = (k – α)/(n + 1 – 2α), і α є регулюванням константи, яка може бути якой завгодно, від 0 до 1. Якщо нульова гіпотеза вірна, точки на графіку повинні приблизно лежати на прямій лінії.

б) P-P ділянка – схожа на залежність Q-Q, але використовується набагато рідше. Цей метод полягає в поєднанні з крапками (Φ(z_(k)), p_k), де . Для нормального розподілення даних ця ділянка повинна лежати на лінії 45° між (0, 0) та (1, 1).

в) Тест Уілк-Шапіро використовує той факт, що лінія в ділянці Q-Q має нахил σ. Тест порівнює оцінки найменших квадратів того нахилу зі значенням вибіркової дисперсії, і відкидає нульову гіпотезу, якщо ці дві величини істотно розрізняться.

г) Нормальний імовірнісний графік (зрив ділянки)

2. Мить випробування:

а) Тест К-квадрату Дагостіна.

б) Тест Харке-Бера.

3. Емпіричні дослідження функції розподілу:

а) Тест Ліліефора (адаптація тесту Колмогорова-Смирнова).

б) Тест Андерсона-Дарлінга [25].

10 Оцінка параметрів

Це часто буває, що невідомі параметри нормального розподілу. Тобто, з вибірки (x₁, ... , х_n) з нормальним N_f (μ, σ²) значенням можна дізнатися приблизні значення параметрів μ і σ2. Стандартним підходом до цієї проблеми є метод максимальної правдоподібності, яке вимагає максимізації правдоподібної логарифмічною функції

Беручи похідні по відношенню до μ і σ² і рішення отриманої системи умов першого порядку дає максимальну правдоподібність оцінки

Оцінювач називається середнім вибірковим значенням, так як він являє собою середнє арифметичне всіх спостережень. Статистика є повним і достатнім для μ, і тому по теоремі Лахмана-Сфеффе, є рівномірна мінімальна дисперсійна неупереджена (UMVU) оцінка. В кінцевих зразках вона розподілена нормально [26]

Висновок

Нормальний розподіл (розподіл Ґауса) — розподіл ймовірностей випадкової величини, що характеризується густиною ймовірності

де — математичне сподівання, — дисперсія випадкової величини. Параметр також відомий, як стандартний відхил. Розподіл із μ = 0 та σ² = 1 називають стандартним нормальним розподілом.

Центральна гранична теорема стверджує, що нормальний розподіл виникає тоді, коли дана випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, кожна з яких грає в утворенні всієї суми незначну роль. Наприклад, відстань від влучення снаряду гармати до цілі при великій кількості пострілів характеризується саме нормальним розподілом.

Нормально розподілена випадкова величина позначається так:

Якщо генеральна сукупність вимірів нормально розподілена, характеризується ступенем квантування вимірів , не має систематичних похибок, тоді:

1. Довірчий інтервал для величини виглядатиме так:

2. З урахуванням ступеня квантування середнє значення визначається з імовірністю