8 Пов'язані розподіли
8.1 Операції на одній випадкової величини
Якщо X розподілена нормально з середнім значенням μ і дисперсією σ2, то: 1. Експонентний Х розподілений лог-нормально: eX ~ ln(N (μ, σ2)). 2. Абсолютне значення Х складає нормальний розподіл: |X| ~ Nf (μ, σ2). Якщо μ = 0, то це відомо як напівнормальний розподіл.
3. Квадрат X/σ має нецентральний розподіл хі-квадрата з одним ступенем свободи: X2/σ2 ~ χ21(μ2/σ2). Якщо μ = 0, то розподіл називається простий хі-квадрат.
4. Розподіл величини X, яка обмежена інтервалом [а, b], називається усіченим нормальним розподілом.
5. (X – μ)-2 має розподіл Леві з розташуванням 0 і масштабом σ-2. [20]
8.2 Комбінація двох незалежних випадкових величин
Якщо X1 і X2, два незалежних стандартних нормальних випадкових величин з середнім значенням 0 і дисперсією 1, то:
1. Їх сума і різниця нормально розподілена з нульовим середнім значенням і та двома дисперсіями: X1±X2 ~ N(0, 2).
2. Їх добуток Z = X1·X2 впливає на "нормальний продукт" розподілу з функцією щільності fZ(z) = π−1K0(|z|), де K0 є модифікована функція Бесселя другого роду. Це розподіл симетричний відносно нуля, необмежений при р = 0, і має характеристичну функцію φZ(t) = (1 + T2)–1/2.
3. Їх співвідношення випливає на стандартний розподіл Коші: X1÷X2 ~ Коші(0, 1).
4.
Їх евклідова норма
є Релеєвським розподілом, також відомий
як розподіл з 2 ступенями свободи [21].
8.3 Комбінація двох або більше незалежних випадкових величин
1. Якщо X1, X2, ..., Xn є незалежними стандартними нормальними випадковими величинами, то сума їх квадратів має розподіл хі-квадрат з n ступенів свободи
2. Якщо X1, X2, ..., Xn є незалежними нормально розподіленими випадковими величинами з середнім значенням μ і дисперсією σ2, то їх вибіркове середнє не залежить від стандартного відхилення вибірки, яка може бути продемонстрована за допомогою теореми Басу або теореми Кохрена. Співвідношення цих двох величин матиме розподіл Стьюдента з n–1 ступенів свободи
3. Якщо X1, ... , Xn, X1, ... , Xm незалежні стандартні нормальні випадкові величини, то ставлення їх нормованої суми квадратів буде мати F-розподіл з (n, m) ступенів свободи [22]
8.4 Операції на функцію щільності
Розкол нормального розподілу найбільш безпосередньо визначається в термінах приєднання масштабних ділянок щільності функції різних нормальних розподілів та масштабуванні щільності, здатної інтегрувати в одну частину. Усічений нормальний розподіл дає результат від зміни масштабу розділення однієї функції щільності [23].
8.5 Розширення
Поняття нормального розподілу, будучи одним з найбільш важливих розподілів в теорії ймовірностей, була розширена далеко за стандартні рамки одновимірного (тобто одномірного) випадку. Всі ці розширення також називаються нормальним розподілом або гаусовим законом, тому деяка невизначеність назв існує.
1. Багатовимірний нормальний розподіл описує закон Гауса в k-вимірному евклідовому просторі. Вектор X ∈ Rk є багатовимірний нормальний розподіл, якщо будь-яка лінійна комбінація її компонентів ∑kj=1aj Xj має (одновимірний) нормальний розподіл. Дисперсія Х є k×k та симетрично позитивна певній матриці В. Багатовимірний нормальний розподіл є окремим випадком еліптичного розподілу. По суті, ізоплотність локусів у випадку k = 2 представляє собою еліпси, а у випадку довільних k представляє собою еліпсоїди.
2. Ректифікований розподіл Гауса є випрямленою версією нормального розподілу з усіма негативними елементами, що скидаються на 0.
3. Комплекс нормального розподілу пропозицій зі складними нормальними векторами. Комплексний вектор X ∈ Ck називається нормальним, якщо обидва його дійсних та уявних компонентів сукупності утворюють 2k-мірний багатовимірний нормальний розподіл. Коваріаційна структура X описується двома матрицями: дисперсійною матрицею Γ та відносною матрицею C.
4. Матриця нормального розподілу описує випадок нормального розподілу матриці.
5. Гаусові процеси є нормально розподіленими випадковими процесами. Їх можна розглядати як елементи деяких нескінченновимірних в гільбертовому просторі H, і, отже, вони є аналогами багатовимірного нормального вектора для випадку k = ∞. Випадковий елемент h ∈ H називається нормальним, якщо для будь-якої постійної a ∈ H скалярного добутку (a, h) має (одновимірний) нормальний розподіл. Дисперсійні структури таких гаусовских випадкових елементів можна описати в термінах лінійного коваріаційного оператора K: H → H. Кілька гаусовских процесів стали досить популярними, що мають навіть власні імена:
а) Броунівський рух.
б) Броунівський міст.
в) Процес Орнштейна-Уленбека.
6. Гаусове розподілення Q – це абстрактна математична конструкція, яка представляє собою "Q-аналог" нормальному розподілу.
7. Q-Гаусса є аналогом розподілу Гауса, в тому сенсі, що він максимізує ентропію Тсалліса, і це є один з видів розподілу Тсалліса. Цей розподіл відрізняється від гаусового розподілу Q [24].