6 Операції на нормальне відхилення
Сімейство нормальних розподілів замкнуто щодо лінійних перетворень. Тобто, якщо X має нормальний розподіл із середнім значенням μ і відхилення σ, то змінна у = ах + b, для будь-яких дійсних a і b, також є нормальним розподілом, з середнім значенням aμ + b і відхиленням aσ.
Також,
якщо X1
і X2,
двох незалежних нормальних випадкових
величин, з середнім значенням μ1,
μ2
і стандартними відхиленнями σ1,
σ2,
то їх сума X1
+ X2
також буде нормально розподіленою, з
середнім значенням μ1
+ μ2
і дисперсією
.
[16]
6.1 Нескінченної подільності і теореми Крамера
Для будь-якого натурального числа n, будь-який нормальний розподіл із середнім значенням μ і дисперсією σ2 є розподіл суми n незалежних нормальних відхилень, кожний з середнім значенням μ/n і дисперсією σ2/n. Ця властивість називається нескінченною подільністю.
І навпаки, якщо X1 і X2 незалежні випадкові величини і їх сума X1 + X2 має нормальний розподіл, то обидва X1 і X2 повинні нормально відхилятися.
Цей результат відомий як розкладання теореми Крамера, і це еквівалентно згортці двох нормальних розподілень, якщо і тільки якщо обидва є нормальними. Теорема Крамера вказує, що лінійна комбінація незалежних негаусових змінних ніколи не матиме точний нормальний розподіл, хоча вона може підійти до нього як завгодно близько [17].
6.2 Теорема Бернштейна
Теорема Бернштейна стверджує, що якщо X і Y незалежні та X + Y і X – Y також незалежні, то обидва X і Y обов'язково повинні мати нормальний розподіл. У цілому, якщо X1, ... , Xn незалежні випадкові величини, то дві різні лінійні комбінації ∑akXk та ∑bkXk будуть незалежні, якщо і тільки якщо всі Xk є нормальними і ∑akbkσ2k = 0, де σ2 позначає дисперсію Xk. [18]
7 Інші властивості
1. Якщо характеристика φX функції деякої випадкової величини X має вигляд φX(t) = eQ(t), де Q(t) є багаточленом, то теорема Марцинкевича стверджує, що Q може бути не більше квадратного тричлена, і, отже, X – нормальна випадкова величина. Наслідком цього результату є те, що нормальний розподіл є єдиним розподілом з кінцевим числом (два) ненульових полуінваріантів.
2. Якщо X і Y є спільно нормальними і некорельованими, то вони незалежні. Вимога, щоб X і Y повинні були спільно нормальними, необхідна, без неї властивість не виконується. Для ненормальних випадкових змінних некорельованість значить незалежність.
3. Розбіжність Кульбака-Лейблера нормального розподілу X2 ~ N(μ2, σ21) з іншим X1 ~ N(μ1, σ22) дає
Відстань Хеллінгера між тими ж розподілами дорівнює
4. Інформаційна матриця Фішера для діагонального нормального розподілу приймає форму
5.
Нормальні розподіли належать до
експоненціального сімейства з природними
параметрами
і
,
та натуральних статистичних x і x2.
Подвійні, очікувані параметри для
нормального розподілу μ = η1
і η2
= μ2
+ σ2.
6. Сполучення середнього нормального розподілу до іншого нормального розподілу. Зокрема, якщо x1, ..., хn незалежні та однаково розподілені N(μ, σ2) і до μ ~ N (μ0, σ20), то апостеріорний розподіл оцінки μ буде
7. З усіх розподілів ймовірностей над полем дійсних чисел із середнім значенням μ і дисперсією σ2, нормальний розподіл N (μ, σ2), один з небагатьох, має максимальну ентропію [19].
8. Сімейство нормальних розподілів утворює різноманіття постійної кривизни –1. Та ж сім'я є плоскою по відношенню до (±1)-зв’язків V(e) та V(m).