3.1 Стандартне відхилення і толерантні інтервали

Близько 68% взято від значення з нормального розподілу в межах одного стандартного відхилення σ від середнього значення, близько 95% лежать від значення в межах двох стандартних відхилень і близько 99,7% знаходяться у межах трьох стандартних відхилень. Цей факт відомий як 68-95-99.7. Це емпіричне правило має назву 3-сигма правило.

Точніше, ймовірність того, що нормальне відхилення лежить в діапазоні μ – nσ та μ + nσ дає формулу [12]

Визначається до 12 знаків після коми, значення для N = 1, 2, ..., 6.

3.2 Функції квантилів

Квантиль функції розподілу є зворотною функцією розподілу. Квантиль функції стандартного нормального розподілу називається пробіт-функція, і може бути виражений через зворотну помилкову функцію:

Для нормальної випадкової величини з середнім значенням μ і дисперсією σ², квантиль функції

Квантиль стандартного нормального розподілу зазвичай позначається як z_p. Ці значення використовуються при перевірці гіпотез, побудова певних інтервалів і Q-Q ділянок. Нормальна випадкова величина X буде перевищувати μ + σz_p з імовірністю 1-р, і буде лежати поза інтервалу μ ± σz_p з імовірністю 2 (1-р). Зокрема, квантиль z_0.975 є 1,96, тому нормальна випадкова величина буде лежати поза інтервалу μ ± 1.96σ лише в 5% випадках.

Існують таблиці, в яких наведено кілька n з σ саме так, що X буде лежати в діапазоні μ ± nσ із заданою вірогідністю р. Ці значення можуть бути використані для визначення допустимого інтервалу для середнього значення та інших статистичних оцінок з нормального (або асимптотично нормального) розподілу [13].

4 Нуль-варіантний ліміт

У лімітах, коли σ прагне до нуля, щільність ймовірності (х) в кінцевому рахунку прагне до нуля при X ≠μ, проте необмежено зростає, якщо х = μ, в той час як його інтеграл залишається рівним 1. Таким чином, нормальний розподіл не можна визначити як звичайну функцію при σ = 0.Тим не менш, можна визначити нормальний розподіл з нульовою дисперсією як узагальнену функцію, а саме, як "дельта-функцію" Дірака, коли δ переводиться на середнє значення μ, тобто F (X) = δ (X-μ). При функції розподілу ймовірностей діє функція Хевісайда, яка переводить на середнє значення μ, а саме [14]

5 Центральна лімітна теорема

Центральна лімітна теорема стверджує, що за певних умов, сума великого числа випадкових величин матиме приблизно нормальний розподіл. Зокрема, припустимо, що X1, ..., Xn незалежно та однаково розподілені випадкові величини, всі з довільного розподілу, з середнім нульовим значенням та дисперсією σ², і Z є їх середнім масштабом по , тобто

Потім, із зростанням n, розподіл ймовірностей Z прагнутимуть до нормального розподілу з середнім нульовим значенням і дисперсією σ². Теорема може бути поширена на зміни Xi, які не є незалежними, та (або) не однаково розподілені, якщо існують певні обмеження на ступінь залежності і моменти розподілів.

Велика кількість тестових статистик, балів, оцінок, що зустрічаються на практиці, містять суми деяких випадкових змінних, навіть більшість оцінок можна представити у вигляді суми випадкових величин, за допомогою функції впливу. Центральна лімітна теорема вказує, що ці статистичні параметри матимуть асимптотичний нормальний розподіл. Центральна лімітна теорема також має на увазі, що деякі розподіли можна апроксимувати нормальним розподілом, наприклад:

1. Біноміальний розподіл B (N, P) становить нормальну апроксимацію із середнім значенням np і дисперсією np(1−p)) при великих n і р не надто близьких до нуля або одиниці.

2. Розподіл Пуассона з параметром λ становить нормальну апроксимацію із середнім значення λ і дисперсією λ, при великих значеннях nλ.

3. Розподіл хі-квадрата χ²(k) становить нормальну апроксимацію з середнім значенням k і дисперсією 2k, для великих k.

4. t-розподіл Стьюдента t(ν) становить нормальну апроксимацію з середнім значенням 0 і дисперсією 1, коли ν велике.

Ці наближення досить точно залежать від мети, для якої вони необхідні, і швидкості збіжності зі нормальним розподілом. Так зазвичай і буває, оскільки такі наближення менш точні в хвості розподілу.

Загальний верхній ліміт для похибки апроксимації в центральній лімітній теоремі становить теорема Беррі-Есе, поліпшені апроксимації задаються розширеннями Еджворта [15].