2.2 Моменти

Прості і абсолютні моменти змінної х є очікуваними значеннями X^p і |X|^р, які є відповідними. Якщо очікуване μ значення Х дорівнює нулю, ці параметри називаються центральними моментами. Теорію цікавлять тільки моменти з цілими порядком р.

Якщо X має нормальний розподіл, ці моменти існують і та є кінцевими для будь-якого р, дійсна частина якого більше ніж -1. Для будь-яких ненегативного цілого р, рівність центрального моменту є

Тут n!! позначає подвійний факторіал, тобто добуток будь-якого непарного числа від n до 1.

Центральні абсолютні моменти збігаються з простими моментами для всіх порядків, але не дорівнюють нулю для непарних порядків. Для будь-якого ненегативного цілого р

Остання формула справедлива і для будь-якого не цілого числа р>-1.

Коли середнє значення μ не дорівнює нулю, прості і абсолютні моменти можуть бути виражені через вироджені гіпергеометричні функції ₁F₁ та U.

Ці вирази залишаються в силі і якщо р не є цілим числом [8].

2.3 Перетворення Фур'є і характеристика функції

Перетворення Фур'є – це нормальний розподіл f із середнім значенням μ і відхилення σ

де і – уявна одиниця. Якщо середнє значення μ дорівнює нулю, то перший коефіцієнт дорівнює 1, і перетворення Фур'є також має нормальний розподіл в частотній області, з середнім значенням 0 і стандартним відхиленням 1/σ. Зокрема, стандартний нормальний розподіл φ (з μ = 0 і σ = 1) є власне функцією перетворення Фур'є.

У теорії ймовірностей, перетворення Фур'є розподілу ймовірностей дійсна випадкова величина X називається характеристичною функцією цієї змінної, і може бути визначена як очікуване значення e^itX, як функція дійсної змінної t (частота параметру перетворення Фур'є). Це визначення може бути аналітично продовжено до комплексного значення параметра t [9].

2.4 Момент і функції генеруючого полуінваріанта

Момент генераційної функції дійсної випадкової величини X визначається як очікуване значення e^itX, залежного від реального параметра t. Для нормального розподілу із середнім значенням μ і відхилення σ, момент виробляє існуючу функцію і дорівнює

Функція генеруючого полуваріанта логарифма виробляє функцію моменту, а саме

Так як це квадратний багаточлен t, тільки перші два полуваріанта відмінні від нуля, а саме середнє значення μ і дисперсія σ². [10]

3 Сукупне розподілення

Сукупна функція розподілу стандартного нормального розподілу, як правило, позначаються грецькою буквою (фі), є інтегральною

У статистиці часто використовують функцію, пов'язану з помилками, або erf(x), визначається як ймовірність випадкової величини з нормальним середнім розподілом 0 і дисперсією 1/2, що потрапляють в діапазон , це

Ці інтеграли не можуть бути виражені через елементарні функції, і часто називаються спеціальними функціями. Вони тісно пов'язані, а саме:

Для типового нормального розподілу f із середнім значенням μ і відхилення σ, полуінваріантна функція розподілу

Доповненням стандартної нормальної сукупної функції розподілу, , часто називається Q-функцією, особливо в галузі технічної літератури. Це дає ймовірність того, що значення стандартної нормальної випадкової змінної Х перевищить х. Інші визначення Q-функції, з яких є всі прості перетворення , також використовуються час від часу.

Графік стандартної нормальної сукупної функції розподілу має 2-кратну симетрію обертання навколо точки (0,1/2); це . Це є первісна (невизначений інтеграл) [11]