1 Визначення

1.1 Стандартний нормальний розподіл

У простому випадку нормальний розподіл відомий як стандартний нормальний розподіл, що описується цією функцією щільності ймовірності:

Коефіцієнт в цьому виразі вказує, що загальна площа під кривою φ(х) дорівнює одному.

1/2  у показнику гарантує, що розподіл матиме одиничну дисперсію (і, отже, будову стандартного відхилення). Ця функція є симетричною навколо х = 0, де вона досягає свого максимального значення , та не має точок перегину на +1 і -1 [2].

1.2 Генеральний нормальний розподіл

Будь-який нормальний розподіл є версією стандартного нормального розподілу, чия область була розтягнута фактором σ (стандартне відхилення), а потім переведені в μ (середнє значення), тобто

Щільність ймовірності повинна бути розширена за допомогою , так що інтеграл як і раніше буде дорівнювати 1.

Якщо Z є стандартним нормальним відхиленням, то Х = Zσ + μ матиме нормальний розподіл з очікуваним значенням μ і стандартним відхиленням σ. Навпаки, якщо X є загальним нормальним відхиленням, то Z = (X - μ) / σ матиме стандартний нормальний розподіл.

Кожний нормальний розподіл експоненціальний квадратичній функції:

Де а – негативний і с – . У такому вигляді середнього значення μ є −b/a, і в дисперсії σ² – −1/(2a). Для стандартного нормального розподілу а є −1/2, b – 0, і с – . [3]

1.3 Позначення

Стандартний розподіл Гауса (з нульовим середнім значенням і одиничною дисперсією) часто позначається грецькою буквою ϕ (фі). Альтернативна форма грецької букви фі, φ, також використовується досить часто.

Нормальний розподіл також часто позначається N (μ, σ²). Таким чином, коли випадкова величина X розподілена нормально з середнім значенням μ і дисперсією σ², ми пишемо [4]

1.4 Альтернативна параметризація

Деякі автори використовують допоміжну точність τ як параметр, що визначає ширину розподілу, замість відхилення σ або дисперсія σ². Точність зазвичай визначається як величина, яка зворотна дисперсії, тобто 1/σ². Формула для розподілу

Цей принцип, як стверджується, має перевагу у чисельних обчисленнях при σ, дуже близьких до нуля, та в спрощенні формул в деяких ситуаціях, таких, як висновок Баєса, коли є змінні з багатоваріантним нормальним розподілом.

Іноді точність τ визначається як 1/σ, тобто зворотна величина стандартного відхилення [5]

1.5 Альтернативні визначення

Ідеї математиків можуть також відрізнятися в тому плані, який нормальний розподіл слід вважати "стандартним". Сам Гаус визначав стандартний нормальний розподіл, який мав дисперсію σ² = 1/2, тобто

Стівен Стиглер визначає стандартний нормальний розподіл з дисперсією

σ² = 1/2π, тобто

Згідно Стиглера, це формулювання вигідно через найбільш простіше і легше запам'ятовування формул, та той факт, що розподіл має одиничну висоту в нулі, і прості наближені формули для квантилів розподілу [6].

2. Властивості

2.1 Симетрія і похідні

Нормальний розподіл F (х), з будь-яким середнім значенням μ і будь-яким позитивним відхиленням σ, має такі властивості:

1. Розподіл симетричний щодо точки х = μ, який в той же час має моду, медіану та середнє значення розподілу.

2. Розподіл унімодальний: перша похідна позитивна при х<μ, негативна при х>μ та нульова тільки при х = μ.

3. Розподіл має дві точки перегину (де друга похідна F дорівнює нулю), розташовані на одне стандартне відхилення від середнього значення, а саме у точках х = μ - σ та х = μ + σ.

4. Розподіл є лог-увігнутим.

5. Розподіл є нескінченно диференційований, та належить насправді до другого суперпозиційного порядку.

Крім того, в стандартному нормальному розподілі φ (з μ = 0 і σ = 1) також має наступні властивості:

1. У розподілі перша похідна φ'(х) є -хφ(х).

2. У розподілі друга похідна φ''(х) є (x² – 1)φ(х).

3. В цілому, n-на похідна розподілу ϕ⁽ⁿ⁾(x) є H_n(x)ϕ(x), де H_n є багаточленом Ерміта n-ого порядку [7].