26

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара

Факультет біології, екології та медицини

Кафедра біофізики та біохімії

Аналітичний огляд

на тему : «НОРМАЛЬНИЙ (ГАУСОВИЙ) РОЗПОДІЛ»

Виконала:

ст. гр. ББ-10-6 Марцофей О. А.

Перевірила Клименко О.Ю.

асистент кафедри біофізики та біохімії

Дніпропетровськ

2013 р.

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………….....................4

1 визначення…………………………………………………………………5

1.1 Стандартний нормальний розподіл………...……………………………..5

1.2 Генеральний нормальний розподіл…………...…………………………..6

1.3 Позначення…………………………………….……………………………..7

1.4 Альтернативна параметризація…………………………………………...7

1.5 Альтернативні визначення………………..………………………………..7

2. Властивості……………………………………………………………….8

2.1 Симетрія і похідні…………….……………………………………………...8

2.2 Моменти………………………………………………………………..……..9

2.3 Перетворення Фур'є і характеристика функції………………………...10

2.4 Момент і функції генеруючого полуінваріанта………………………...10

3 Сукупне розподілення………………………………………………11

3.1 Стандартне відхилення і толерантні інтервали…………..……………12

3.2 Функції квантилів………………………………………………………….12

4 Нуль-варіантний ліміт………………………………………………13

5 Центральна лімітна теорема…………………………………….14

6 Операції на нормальне відхилення…………………………..15

6.1 Нескінченної подільності і теореми Крамера…………………………..15

6.2 Теорема Бернштейна………………………………………………………16

7 Інші властивості ………………………………………...……………16

8 Пов'язані розподіли…………………………………………………..17

8.1 Операції на одній випадкової величини……………………...…………17

8.2 Комбінація двох незалежних випадкових величин …………...………18

8.3 Комбінація двох або більше незалежних випадкових величин………18

8.4 Операції на функцію щільності…………………………………………..19

8.5 Розширення………………………………………………………………….20

9 Критерії нормальності………………………………………………21

10 Оцінка параметрів…………………………………………………...22

ВИСНОВОК……………………………………………………………………..24

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………………….25

ВСТУП

У теорії ймовірностей, нормальний (або Гаусів) розподіл є безперервним розподілом ймовірностей, що визначається за формулою

Параметр μ в цій формулі вказує на середнє значення або очікування розподілу (а також його медіану і моду). Параметр σ є стандартним відхиленням; також є дисперсією розподілу – σ². Випадкова величина з гаусового розподілу називається нормальним розподілом і має назву нормальне відхилення. Якщо μ = 0 і σ = 1, то розподіл називається стандартним нормальним розподілом або блоком нормального розподілу, а випадкова величина з розподілу є стандартним нормальним відхиленням.

Нормальні розподіли надзвичайно важливі в статистиці, і часто використовуються в природних та соціальних наука для дійсних випадкових величин, розподіли яких не відомі. Однією з причин їх популярності є центральна лімітна теорема, яка свідчить, що, в стандартних умовах, середнє значення з великого числа випадкових величин незалежно вибирається з розподілу, розподілених апроксимально нормально, незалежно від форми оригінального розподілу. Таким чином, фізичні величини, які, як передбачається, є сумою багато незалежних процесів (таких як помилки вимірювань), часто мають розподіл, дуже близький до нормального. Іншою причиною є те, що велика кількість результатів і методів (наприклад, поширення невизначеності і підгонка параметрів найменших квадратів) можуть бути отримані аналітично, в наочному вигляді, коли відповідні змінні нормально розподілені.

Нормальний розподіл є єдиним абсолютно безперервним розподілом, у якого всі полуінваріанти за перші два (тобто інші, ніж середнє значення та дисперсія) дорівнюють нулю. Це також безперервний розподіл з максимумом ентропії для даного середнього значення і дисперсії.

Нормальний розподіл є симетричним щодо середнього, та не дорівнює нулю на всій прямій. Якщо так, він не може бути надійною моделлю для змінних, які по своїй суті позитивні або сильно спотворені, наприклад, вага людини або ціна акцій. Такі змінні краще описати в інших розподілах, таких як лог-нормальний розподіл або розподіл Парето.

Нормальний розподіл також практично дорівнює нулю, коли значення х більше, ніж кілька стандартних відхилення від середнього значення. Таким чином, розподіл не може бути доречним, коли можна очікувати значну частину зайвого, величини, які лежать на багатьох стандартних відхилення від середнього значення. Найменші квадрати та інші статистичні методи виведення, які є оптимальними для нормально розподілення змінних, часто стають дуже ненадійними. У таких випадках допускаються більш важкі хвости розподілу, і відповідно надійні статистичні методи виведення.

Нормальний розподіл є підкласом еліптичних розподілів.

Розподіл Гауса іноді називають кривою нормального розподілу. Тим не менш, існує безліч інших розподілів, як дзвоноподібний (такі, як Коші, Стьюдента, матеріально-технічні). Умови гаусової функції та гаусової кривої нормального розподілу також неоднозначні, так як вони іноді посилаються на нормальний розподіл, коли інтеграл не дорівнює 1. , тобто для будь-яких позитивних констант a, b і c [1].