4. Определение величины и направления вектора ускорения Кориолиса точки м.

, ,

где - угол между векторами и . По рисунку видно что . Тогда . При с:

Направление вектора определим по правилу Жуковского. Спроецируем вектор на плоскость, перпендикулярную вектору и повернем эту проекцию на 90 в сторону вращения. Вектор «ляжет» на ось и будет направлен на наблюдателя, как показано на рис.3.

5. Определение . Вектор абсолютной скорости точки М находится по формуле:

(*)

В данной задаче = , так как . Но так бывает не всегда, поэтому воспользуемся методом проекций. Равенства (*) перепишем в проекциях на оси неподвижной системы координат .

,

(**)

Вычислим проекции отдельных векторов скоростей на оси системы координат или, что то же самое, на оси системы координат и воспользуемся (**). Для момента времени с будет иметь :

, ,

,

, ,

, ,

Здесь было учтено, что ; .

Тогда

Косинусы углов которые вектор абсолютной скорости образует с осями , , , соответственно равны:

, ,

, ,

, .

Вектор показан на рис. 4 к задаче.

6. Определение . По ( ) имеем . В нашем случае траектория переносного движения точки – окружность радиуса Km, поэтому вектор переносного ускорения . Тогда

(***)

В проекциях на оси неподвижной системы координат (***) примет вид:

, ,

. (****)

Вычислим проекции векторов , входящих в (***), на оси неподвижной системы координат .

, , .

, , ,

, .

Подставляя полученные выражения проекций в (****), для момента получим:

= , = ,

= .

.

Косинусы углов , которые вектор образуют с осями соответственно равны

, ,

, ,

, .

Вектор показан на рис.4 к задаче.

Задача 5.2. Ползун движется вдоль прямолинейной кулисы от точки к точке с постоянной скоростью , а сама кулиса вращается вокруг оси , перпендикулярной плоскости рисунка, с угловой скоростью . Принимая ползун за точку, определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение ползуна в момент времени, когда ползун переместиться на расстояние

Решение: Движение ползуна вдоль кулисы для ползуна является относительным движением, а вращательное движение кулисы – переносным движением. Поэтому и модули этих векторов равны . Переносная скорость . Вектор перпендикулярен , а модуль абсолютной скорости ползуна будет равен Так как , то . (так как ) Модуль кориолисова ускорение находится по формуле Модуль абсолютного ускорения при будет равен . Здесь (

Ответ:

Задача 5.3. Точка движется с постоянной скоростью по кольцу радиуса , которое вращается с постоянной угловой скоростью относительно оси Определить модуль абсолютного ускорения точки в указанном на рисунке положении.

Решение: Движение точки по кольцу – это её относительное движение, вращение кольца вместе с кольцом – переносное движение. Тогда (т.к. ): , Учитывая, что получим т.к.

Ответ: .

Задача 5.4. Движение поршня горизонтальной паровой машины катера задано уравнением (ось направлена от кормы к носу). Принимая поршень за точку, определить модуль абсолютного ускорения поршня в его среднем положении, если катер движется по окружности радиуса с постоянной скоростью

Решение. Обозначим центр поршня точкой . Движение поршня относительно корпуса катера - это относительное движение точки . Движение точки вместе с вращающимся катером по окружности радиуса - это переносное движение точки со скоростью . Вычислим Здесь . По уравнению движения видно, что среднее положение поршня соответствует моментам времени и т.д.. В эти моменты времени . Определим переносную угловую скорость Длина траектории точки катера (длина окружности) Время (период) ее обхода катером (точкой ): . Из теории вращения твердого тела относительно неподвижной оси , направленной перпендикулярно плоскости рисунка, . Тогда . Следовательно, . Тогда . , Для среднего положения поршня Напомним, здесь из уравнения движения. Направления ускорений показаны на рис. 2 к задаче. Абсолютное ускорение . Надо иметь в виду, что при работе поршня вектор будет периодически менять свое направление на обратное. В формуле для вычисления знак (+) берется при совпадении направлений векторов скоростей поршня и катера.

Ответ: .

Задача 5.5. Кривошипы и тепловоза длиной вращаются с угловой скоростью и угловым ускорением и соединены между собой спарником Радиусы колес Колеса катятся по рельсам без скольжения. Определить абсолютное ускорение любой точки спарника для четырех положений кривошипа:

Решение: Так как спарник совершает поступательное движение, то скорости и ускорения всех его точек одинаковы. Скорость и ускорение точки равны скорости и ускорению точки (точки, в которой конец спарника соединен с кривошипом Точку можно считать участвующей в двух движениях. Относительное движении – это движение по окружности радиуса вокруг оси колеса тепловоза. Переносное движении – это движение вместе с колесом в его поступательном движении со скоростью и ускорением . При этом - скорость и ускорение точки оси колеса. Найдем скорость и ускорение конца оси колеса тепловоза . Для этого рассмотрим движение точки С колеса, в которой оно касается рельса. Для точки С переносная скорость , относительная скорость Она найдена как скорость точки вращающегося тела. Но колесо катится без скольжения и скорость точки С должна быть равна нулю. Отсюда или .

Ускорение точки является переносным ускорение точки А. Найдем его как производную от . Относительная скорость точки А: а ее ускорение , где Поскольку за переносное движение принимается поступательное движение колеса, то и, следовательно, . Поэтому . Используя четыре раза метод проекций, вычислим ускорения точки при четырех положениях точки - в Они будут постоянными по модулю, но меняются по направлению. Абсолютные ускорения всех точек для различных положений кривошипа показаны на рисунке 2 к задаче. Их модули определяются следующим образом:

,

,

,

.

Ответ:

Задача 5.6. Башенный кран вращается равномерно с угловой скоростью По стреле крана перемещается краповая тележка с постоянной скоростью Вертикально вниз груз движется равноускоренно из состояния покоя; пройдя расстояние , он имеет скорость, равную Принимая груз за точку, определить модуль абсолютного ускорения груза , если в рассматриваемый момент времени . Точка лежит на вертикальной оси крана (рис. 2 к задаче).

Решение: Кран стоит на месте, стрела поворачивается. Трос движется поступательно, оставаясь параллельным самому себе. Тогда за переносное движение точки можно принять вращение крана относительно своей оси. Мысленно остановив тележку на расстоянии и найдем кинематические характеристики переносного движения точки – то есть точки стрелы крана, в которой в данный момент времени находится центр тележки . Для точки вращающегося тела . Векторы взаимно перпендикулярны. По условию задачи . Тогда .

Следовательно, Исследуем относительное движение точки - движение точки по отношению к «неподвижной» стреле крана. Относительная скорость точки складывается из постоянной скорости перемещения тележки и скорости движения груза в вертикальном направлении, которая в указанный момент времени равна : . Так как взаимно перпендикулярны, то в данный момент времени . Вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах – слагаемых и . Относительное ускорение точки складывается из вектора ускорения точки в её движении по стреле крана и вектора ускорения при движении точки в вертикальном направлении: . Но , так как по условию задачи . Следовательно, . Определим ускорение с которым опускается груз Это движение точки – прямолинейное, равноускоренное. Для такого движения , . Выражая время из первого уравнения и подставляя во второе, получим выражение для постоянного относительного ускорения, с которым опускается груз : Ускорение Кориолиса = = , так как Тогда модуль этого вектора равен Направление вектора определяется по правилу Жуковского и показано на рис.2 к задаче. Вектор абсолютного ускорения определяется по формуле (5.7) . Спроецируем это уравнение на оси системы координат или, что то же, . ,

Ответ:

Задача 5.7. Тележка движется со скоростью Стержень длиной , закрепленный в центре тележки, вращается по закону ( ). Определить абсолютное ускорение конца стержня (точки ) в момент времени , принимая при вращении по часовой стрелке.

Решение: Движение (вращение) стержня по отношению к тележке является относительным движением. Исследуем относительное движение. , , , , . В момент времени получим: , , , , . Следовательно, . Вектор и направлен в сторону вращения стержня. Вектор направлен по оси стержня от точки М к точке подвеса . Переносным движением точки является её движение вместе с тележкой. Тележка движется (колеблется) поступательно. Поэтому и, следовательно, . Закон изменения переносной скорости задан в условии задачи, переносное ускорение В момент времени имеем . Спроецируем это уравнение на оси координат.

Ответ: