§ 5.3. Теорема о геометрическом сложении векторов ускорений при сложном движении точки

5.9. Теорема. Вектор абсолютного ускорения при сложном движении точки равен геометрической сумме векторов ускорений точки в её относительном, переносном движениях и вектора ускорения Кориолиса.

= + + (5.7)

Доказательство: По определению (1.15) вектор ускорения точки в абсолютном движении равен:

. (5.8)

Продифференцируем равенство (5.8) по времени и получим:

= + (5.9)

Как известно, вектор ускорения характеризует изменение со временем вектора скорости. Следовательно, в правой части (5.9) производные по времени характеризуют изменение векторов в в абсолютном движении. Абсолютное движение мы представили в виде суммы относительного и переносного движений. Рассмотрим два бесконечно близких момента времени. Пусть в относительном движении вектор относительной скорости получает приращение, обозначенное как (рис. 5.3,1). Но траектория относительного движения в то же время перемещается вместе с самим телом (рис. 5.3,2) и вектор относительной скорости из-за поворота тела (траектории относительного движения) примет новое положение . Приращение вектора относительной скорости из-за переносного движения точки обозначено на рисунках . Перенося параллельно самим себе векторы и в точку и складывая, получим: + .

Совершенно аналогично можно показать, что , где - изменение вектора переносной скорости точки в относительном движении, - изменение вектора переносной скорости точки в переносном движении.

Тогда равенство (5.9) может быть записано в виде:

= +

. (5.10)

Принимая во внимание введенные ранее определения можно записать:

, , , (5.11)

где соответственно , , - векторы абсолютного, относительного и переносного ускорений точки соответственно. Сумму двух оставшихся слагаемых из (5.10) называют кориолисовым ускорением.

+ . ( 5.12)

5.10. Кориолисовым ускорением точки при сложном движении называется вектор , характеризующий изменение во времени вектора относительной скорости в переносном движении точки и изменение вектора переносной скорости в относительном движении точки. Окончательно равенство (5.10) примет вид: = + + . Что и требовалось доказать

.

§ 5.4. Определение вектора кориолисова ускорения точки и его свойства

Формула (5.12) раскрывает механическую суть вектора , но еще не пригодна для непосредственного использования в практических расчетах. Опуская промежуточные геометрические построения и вычисления, приводим окончательные формулы, пригодную для практического использования.

, (5.13)

, (5.14)

где -угловая скорость переносного движения подвижной системы координат (или вращающегося тела, с которым связана точка), - угол между векторами угловой скорости и вектором относительной скорости точки . Итак,

5.11. Вектор кориолисова ускорения (5.13) равен удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного движения и вектора скорости точки в относительном движении .

5.12. Модуль вектора кориолисова ускорения (5.14) вычисляется по правилам векторного произведения и равен удвоенному произведению модулей векторов угловой скорости, относительной скорости точки и синуса угла между этими векторами

5.13. Направление вектора кориолисова ускорения находится по правилу векторного произведения: вектор направлен в ту сторону, откуда кратчайший поворот от первого вектора-сомножителя ко второму вектору - сомножителю наблюдается происходящим против часовой стрелки.