
- •Глава 5 сложное движение точки
- •§ 5.1. Общие понятия и определения в теории сложного движения точки
- •5.5. Движение точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным движением.
- •5.6. Движение точки м вместе с подвижной системой координат по отношению к неподвижной системе координат называется переносным движением точки м.
- •§ 5.2. Теорема о геометрическом сложении векторов скоростей при сложном движении точки
- •§ 5.3. Теорема о геометрическом сложении векторов ускорений при сложном движении точки
- •5.9. Теорема. Вектор абсолютного ускорения при сложном движении точки равен геометрической сумме векторов ускорений точки в её относительном, переносном движениях и вектора ускорения Кориолиса.
- •§ 5.4. Определение вектора кориолисова ускорения точки и его свойства
- •Правило Жуковского
- •§ 5.5. Задачи с решениями на сложное движение точки
- •4. Определение величины и направления вектора ускорения Кориолиса точки м.
- •§ 5.6. Задачи для самостоятельного решения на сложное движение точки
§ 5.3. Теорема о геометрическом сложении векторов ускорений при сложном движении точки
5.9. Теорема. Вектор абсолютного ускорения при сложном движении точки равен геометрической сумме векторов ускорений точки в её относительном, переносном движениях и вектора ускорения Кориолиса.
=
+
+
(5.7)
Доказательство: По определению (1.15) вектор ускорения точки в абсолютном движении равен:
.
(5.8)
Продифференцируем равенство (5.8) по времени и получим:
=
+
(5.9)
Как известно,
вектор ускорения характеризует изменение
со временем вектора скорости. Следовательно,
в правой части (5.9) производные по времени
характеризуют изменение векторов в
в абсолютном движении. Абсолютное
движение мы представили в виде суммы
относительного и переносного движений.
Рассмотрим два бесконечно близких
момента времени. Пусть в относительном
движении вектор относительной скорости
получает приращение, обозначенное как
(рис. 5.3,1). Но траектория относительного
движения в то же время перемещается
вместе с самим телом (рис. 5.3,2) и вектор
относительной скорости
из-за поворота тела (траектории
относительного движения) примет новое
положение
.
Приращение вектора относительной
скорости
из-за переносного движения точки
обозначено на рисунках
.
Перенося параллельно самим себе векторы
и
в точку
и складывая, получим:
+
.
Совершенно
аналогично можно показать, что
,
где
- изменение вектора переносной скорости
точки
в относительном движении,
-
изменение вектора переносной скорости
точки
в переносном движении.
Тогда равенство (5.9) может быть записано в виде:
=
+
.
(5.10)
Принимая во внимание введенные ранее определения можно записать:
,
,
,
(5.11)
где соответственно
,
,
- векторы абсолютного, относительного
и переносного ускорений точки
соответственно. Сумму двух оставшихся
слагаемых из (5.10) называют кориолисовым
ускорением.
+
. ( 5.12)
5.10. Кориолисовым
ускорением точки при сложном движении
называется вектор
,
характеризующий изменение во времени
вектора относительной скорости в
переносном движении точки и изменение
вектора переносной скорости в относительном
движении точки. Окончательно
равенство (5.10) примет вид:
=
+
+
.
Что и требовалось доказать
.
§ 5.4. Определение вектора кориолисова ускорения точки и его свойства
Формула (5.12) раскрывает механическую суть вектора , но еще не пригодна для непосредственного использования в практических расчетах. Опуская промежуточные геометрические построения и вычисления, приводим окончательные формулы, пригодную для практического использования.
,
(5.13)
,
(5.14)
где
-угловая
скорость переносного движения
подвижной системы координат (или
вращающегося тела, с которым связана
точка),
-
угол между векторами угловой скорости
и вектором относительной скорости точки
.
Итак,
5.11. Вектор
кориолисова ускорения (5.13) равен
удвоенному векторному произведению
вектора угловой скорости переносного
движения
и вектора скорости точки в относительном
движении
.
5.12. Модуль вектора кориолисова ускорения (5.14) вычисляется по правилам векторного произведения и равен удвоенному произведению модулей векторов угловой скорости, относительной скорости точки и синуса угла между этими векторами
5.13. Направление
вектора кориолисова ускорения
находится по правилу векторного
произведения: вектор
направлен в ту сторону, откуда кратчайший
поворот от первого вектора-сомножителя
ко второму вектору - сомножителю
наблюдается происходящим против часовой
стрелки.