5. Основные направления математического программирования.

Математическое программирование - раздел математики, исследующий математические модели и методы решения многоэкстремальных задач с ограничениями.

В математическом программировании можно выделить два направления.

К первому, уже вполне сложившемуся направлению – собственно математическому программированию – относятся детерминированные задачи, предполагающие, что вся исходная информация является полностью определенной.

Ко второму направлению – так называемому стохастическому программированию – относятся задачи, в которых исходная информация содержит элементы неопределенности, либо когда некоторые параметры задачи носят случайный характер с известными вероятностными характеристиками. Так, планирование производственной деятельности зачастую производится в условиях неполной информации о реальной ситуации, в которой будет выполняться план. Или, скажем, когда экстремальная задача моделирует работу автоматических устройств, которая сопровождается случайными помехами. Заметим, что одна из главных трудностей стохастического программирования состоит в самой постановке задач, главным образом из-за сложности анализа исходной информации.

Традиционно в математическом программировании выделяют следующие основные разделы.

Линейное программирование – целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. В свою очередь в линейном программировании существуют классы задач, структура которых позволяет создать специальные методы их решения, выгодно отличающиеся от методов решения задач общего характера. Так, в линейном программировании появился раздел транспортных задач.

Нелинейное программирование – целевая функция и ограничения нелинейны. Нелинейное программирование принято подразделять следующим образом:

Выпуклое программирование – целевая функция выпукла (если рассматривается задача ее минимизации) и выпукло множество, на котором решается экстремальная задача.,

Квадратичное программирование – целевая функция квадратична, а ограничениями являются линейные равенства и неравенства.

Многоэкстремальные задачи. Здесь обычно выделяют специализированные классы задач, часто встречающихся в приложениях, например, задачи о минимизации на выпуклом множестве вогнутых функций.

Важным разделом математического программирования является целочисленное программирование, когда на переменные накладываются условия целочисленности.

Целью математического программирования является создание, где это возможно, аналитических методов определения решения, а при отсутствии таких методов – создание эффективных вычислительных способов получения приближенного решения.

Наконец, заметим, что наименование предмета – “математическое программирование” – связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.

5. Элементы линейного программирования и характеристика областей их применения.

В своей практической деятельности, направленной на достиже-ние поставленной цели, человек стремится к наилучшему или какеще говорят оптимальному (в том или ином смысле) способу дей-ствия, если имеется возможность выбора из множества различныхспособов действия, приводящих к этой цели. Если способы действияили стратегии характеризуются какой-нибудь величиной, то задачавыбора наилучшей (оптимальной) стратегии сводится к нахождениюмаксимума или минимума  , т. е. наибольшего или наименьшего зна-чения этой величины. Два понятия  максимум и минимум  принято выражать однимтермином экстремум . Поэтому задачи на нахождение максимумаили минимума называют экстремальными задачами или оптими-зационными задачами  . Методы исследования и решения различногорода экстремальных задач составляют раздел математики, называ-емый теорией экстремальных задач или теорией оптимизации  .Задача нахождения оптимальной стратегии в практических за-дачах возникает, как правило, в описательной форме.

Применениематематических средств для изучения такой задачи предполагаеттри этапа, о которых уже говорилось в 3.1 в связи с текстовымизадачами: формализация (или построение математической модели),анализ математической модели, интерпретация.При формализации практических задач на нахождение максиму-ма или минимума возникает математическая задача, точная поста-новка которой включает три составляющие: 1) какое-то множество X , которое моделирует совокупность всех стратегий или способовдействия; числовая функция f , определенная на множестве X  , пока-зывающая в каком смысле стратегия должна быть наилучшей; неко-торое подмножество C  множества X , выделяемое ограничительными или регулирующими условиями задачи (последние часто выражают-ся системами уравнений и неравенств). Сама задача заключается втом, чтобы найти такой элемент  x0 в множестве C , для которо-го значение функции f (x0)является наименьшим (наибольшим) вмножестве всех значений 

{f (x) :x∈C }и символически записы-вается в виде: x∈C f (x)→min (max).Если в этой задаче функция f линейна, а множество C задается системой линейных уравнений и неравенств, то говорят о линейной экстремальной задаче или линейной оптимизационной задаче . Раз-дел теории экстремальных задач, посвященный методам анализа ирешения линейных оптимизационных задач, принято называть ли-нейным программированием .Линейное программирование относится к числу наиболее широко распространенных методов анализа управляющих решений, ис-пользуемых при решении производственных и коммерческих задач.Любая задача линейного программирования включает три основных элемента: управляемые переменные ,целевую функцию и ограниче-ния .Управляемые переменные.Управляемые переменные задачизависят от типа рассматриваемой задачи. Ими могут быть, напри-мер, количества размещаемых ресурсов или же количества произ-водимых единиц продукции. Принимающий управляющее решениеищет такие значения этих переменных, обозначаемых, как правило,через x,y,z...или x1,x2,x3,..., которые доставляют оптимальное (наилучшее )решение  рассматриваемой им задачи. Выбор конкрет-ных значений для управляемых переменных  это и есть управляю-щее решение, а определенная свобода такого выбора  возможностьуправления.Целевая функция.

Целевой называют функцию, зависящуюот управляемых переменных и характеризующую степень близостик некоторой желаемой цели. Наличие целевой функции позволяетосмыслить что же такое оптимальное решение.

Именно,оптимальными будут те значения управляемых переменных, при которыхцелевая функция принимает максимальное или минимальное зна-чение. В задачах линейного программирования речь идет об опти-мизации единственной цели, записанной в виде линейной функции ax+by+cz+...или a1x1+a2x2+a3x3+...

Таким образом, ищетсялибо максимальное значение желаемой цели (прибыли, доли рынкаи т. п.) или же минимальное значение нежелательного результата(полные расходы, отходы и т. п.).

Как уже сказано выше, принимающий управляющие решения ищет такие значения управляемых переменных, кото-рые доставляют максимум или минимум целевой функции. Однакотакой поиск ведется при некоторых ограничивающих или регулирующих условиях, включенных в постановку задачи и не подлежащихизменению для данной задачи. Такие условия выражаются в виде линейных неравенств и равенств и называются ограничениями .

Неуправляемые переменные.

Помимо этого в математическое выражение целевой функции и ограничений входят некото-рые постоянные величины, называемые неуправляемыми параметрами . 

Параметры, входящие в целевую функцию (a,b,c,... или a1,a2,a3,... см. выше), называюткоэффициентами прибыли издержек . Они выражают скорость, с которой значение целевой функцииубывает или возрастает при изменении управляемых переменных.В линейные выражения ограничений входят также некоторые ко-эффициенты при управляемых переменных. Они называются тех-нологическими коэффициентами и выражают скорость, с которойданные ресурсы истощаются или используются.