3.2. Устойчивость нелинейных систем по виду фазовых траекторий
Пусть
i
= 1, 2, n
- решение уравнений (1). Система называется
устойчивой по Ляпунову, если для любой
сколь угодно малой величины
существует такое значение
,
что для всех
начальных отклонений
при t
> 0
выполняется условие
.
Различают устойчивость состояния равновесия и устойчивость автоколебаний. В лекциях приведена более подробная классификация устойчивости нелинейных систем.
На рис. 3 показаны примеры поведения в пространстве состояния устойчивых и неустойчивых систем.
Рис. 3. Примеры анализа устойчивости по виду фазовых траекторий
Для определения параметров автоколебаний и исследования условий их возникновения применяют условие гармонического баланса
(4)
где
- АФЧХ линейной
части системы,
- комплексный
коэффициент передачи нелинейного
элемента,
- инверсный
коэффициент передачи нелинейного
элемента.
(5)
(6)
где
- коэффициенты
гармонической линеаризации (приведены
в таблице 3),
- вещественная
(ВЧХ) и мнимая (МЧХ) частотная характеристика
и соответственно.
Если линейная часть системы устойчива и движение происходит но кривой в сторону увеличения амплитуды хт, то в той точке пересечения характеристик и , которая соответствует выходу из АФЧХ линейной части, расположены параметры устойчивых автоколебаний.
Например, для системы с характеристиками, представленными на рис. 4, точка 1 представляет собой параметры устойчивых автоколебаний.
Рис. 4. Условие возникновения автоколебаний
4. Методика исследования
4.1. Изучить релейный элемент в среде Simulink и в соответствии с вариантом из таблицы 1 и рис. 5 построить временные и статические характеристики.
Таблица 1 – Параметры нелинейного элемента
№ бригады |
a |
b |
c |
d |
1 |
1 |
3 |
2 |
4 |
2 |
0,5 |
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
5 |
3 |
5 |
4 |
1 |
0,5 |
2 |
3 |
5 |
2 |
1 |
2 |
3 |
Рис. 5. Статические характеристики реле
Для этого на вход блока реле подать синусоидальный сигнал произвольной частоты. Необходимо исследовать релейный элемент с тремя видами статических характеристик, приведенных на рис. 5. Схема проведения исследований показана на рис 6.
Рис. 6. Схема исследования релейного элемента
Для этого необходимо выполнить следующее:
MATLAB SIMULINK Simulink Library Browser untitled;
Simulink Library Browser Discontinuities Relay untitled;
Simulink Library Browser Sinks Scope untitled;
Simulink Library Browser Sinks XY Graph untitled;
Simulink Library Browser Sinks Out1 untitled;
Simulink Library Browser Sources Sine Wave untitled.
В MATLAB создайте М- файл. MATLAB File New M-File.
Наберите в нем следующую программу:
% ТАУ, Лабораторная работа №2
%Исследование нелинейных систем
y1=yout(:,1);
y2=yout(:,2);
subplot(3,1,1)
plot(tout,y2')
grid
set(gca,'FontName', 'Arial', 'FontSize', 10)
title('Входной сигнал')
subplot(3,1,2)
plot(tout,y1')
grid
set(gca,'FontName', 'Arial', 'FontSize', 10)
title('Выходной сигнал')
subplot(3,1,3)
plot(y2,y1)
grid
set(gca,'FontName', 'Arial', 'FontSize', 10)
title('Релейная характеристика')
xlabel('Время, С')
ylabel('Напряжение, В')
Скопируйте набранную программу в окно command window. Нажмите Enter.
На сетевом принтере распечатать схему исследований и графики моделирования.
4.2. Исследовать поведение системы управления с переменной структурой (рис. 7) в соответствии с вариантом из таблицы 2 и рис. 5.
Рис. 7. Схема стабилизации устройства
4.2.1. Задать
пропорциональный закон управления
Собрать схему моделирования (рис. 7),
построить фазовые траектории, сделать
выводы об устойчивости системы.
Рис. 7. Схема моделирования стабилизации технического устройства
В MATLAB создайте М- файл. MATLAB File New M-File.
Наберите в нем следующую программу:
% ТАУ, Лабораторная работа №1
%Исследование нелинейных систем
y1=yout(:,1);
y2=yout(:,2);
y3=yout(:,3);
subplot(4,1,1)
plot(tout,y2')
grid
set(gca,'FontName', 'Arial', 'FontSize', 10)
title('Входной сигнал')
subplot(4,1,2)
plot(tout,y1')
grid
set(gca,'FontName', 'Arial', 'FontSize', 10)
title('Выходной сигнал')
subplot(4,1,3)
plot(tout,y3')
grid
set(gca,'FontName', 'Arial', 'FontSize', 10)
title('Выходной сигнал релейного элемента')
subplot(4,1,4)
plot(y1,y2)
grid
set(gca,'FontName', 'Arial', 'FontSize', 10)
title(' Фазовая траектория')
4.2.2. Задать пропорциональный закон управления Собрать схему моделирования (рис. 7), заменить в ней блок Constant на блок Sine Wave, построить фазовые траектории, сделать выводы об устойчивости системы.
4.3. Численно или
аналитически установить возможность
автоколебаний в системе на рис. 8.
Рассчитать параметры автоколебаний:
амплитуду
и частоту
.
Параметры
нелинейного элемента
a
и b
по вариантам заданны в таблице 2.
Рис. 8. Автоколебательная система
Таблица 2 - Параметры автоколебаний
№ бригады |
a |
b |
1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
1 |
3 |
2 |
2 |
4 |
1 |
0,5 |
5 |
2 |
1 |
Таблица 3 – Коэффициенты гармонической линеаризации
Нелинейный элемент |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
