3.3. Анализ фазовых траекторий системы с идеальным реле

В случае идеального реле (рис. 3,а; рис. 5) управляющий сигнал u(t) принимает лишь два значения: b. Знак управляющего воздействия u(t) зависит от знака ошибки . Отсюда следует, что правой полуплоскости (е=x₁ > 0 и u = b > 0) движение изображающей точки происходит по первому листу (рис. 5, б), а в левой (e = x₁ < 0 и u = -b) – по второму.

Рисунок 5 – Фазовый портрет системы с идеальным реле

Переход изображающей точки с одной области в другую происходит в момент переключения реле, когда сигнал e = х₁ = 0. Таким образом, прямая х₁=0 (рис. 5, б) является линией переключения.

Фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые. Такие кривые соответствуют незатухающим колебаниям.

3.4. Анализ фазовых траекторий системы с реле с гистерезисом.

В случае реле с положительным гистерезисом (рис. 3,а; рис. 6) характер фазового портрета изменяется.

Как и в случае с идеальным реле управляющий сигнал u(t) принимает два значения: u(t) = b. Однако характеристика реле (рис. 6, а) не однозначна и состоит из двух ветвей F₁ и F₂. Особенности характеристики изменяют условия переключения реле.

Рисунок 6 – Фазовый портрет системы с гистерезисом

При х₁ > а управляющий сигнал u(t) = b и движение изображающей точки происходит по траекториям правой полуплоскости (рис. 6, б).

А

(15)

налогично при х ₁< -а значение u(t) = -b, движение происходит по траекториям левой полуплоскости. В интервале |х₁| < а выходной сигнал u(t) может быть равен + b или – b. Изображающая точка может двигаться по любой полуплоскости фазовой плоскости, которые как бы наклеиваются друг на друга. Переключения реле происходят в моменты, когда

х₁(t) =  а. (14)

Условия (14) являются необходимыми условиями переключения и определяют на фазовой плоскости пару прямых (рис. 8, б).

Пусть П₁₂ и П₂₁ – переключения реле с u = + b на u = - b и наоборот. При х₁ = а согласно характеристике реле (рис. 6, а) может происходить только переключение П₂₁ (переход с ветви F₂ на F₁). Следовательно, на прямой х₁ = а фазовая траектория может переходить с левой полуплоскости на правую (рис. 6, б). Однако не все точки прямой х₁ = а образуют линию переключения.

Действительно, траектории правой полуплоскости могут подходить к прямой х₁ = а только слева из области |х₁| < а (область х₁ > а принадлежит траекториям правой полуплоскости ), а это возможно только в верхней полуплоскости, где х₂ > 0. (рис. 8, б).

Аналогично при х₁ = -а возможны лишь переключения П₁₂. Причем траектории правой полуплоскости могут подходить к прямой х₁ = -а только справа, из области |х₁| < а (область х₁ < -а принадлежит правой полуплоскости), а это возможно только в нижней полуплоскости, где х₁ < 0 (рис. 6, б).

Таким образом, переключениям реле П₁₂ и П₂₁ соответствуют линии переключения П₁₂ и П₂₁, определяемые следующим образом:

П₁₂: х₁ = -а, х₂ < 0; (15)

П₂₁: х₁ = а, х₂ > 0.

Как следует из рис. 6,б, фазовые траектории системы расходятся. Отметим некоторые особенности фазовых траекторий.

Допустим, начальные условия х₁(t₀), х₂(t₀) принадлежат области |х₁| < а. Эта информация не достаточна, чтобы определить движение изображающей точки. Необходимо еще знать состояние реле u(t₀) в начальный момент времени. Так, при u(t₀) = b движение будет происходить d правой полуплоскости. Если же значение u(t₀) неизвестно, то целесообразно построить траектории для двух возможных значений u(t₀) (как на рис. 6,б). Такая ситуация может возникнуть при включении системы в работу. Если при этом начальные условия попадут в область |x₁| < a, то реле может оказаться в любом из двух допустимых состояний. Отметим, что лучи (15) не для всех траекторий являются линиями переключения.