Геометрический смысл производной

Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.

Если функция дифференцируема в точке , то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке , равен значению производной функции при , т.е. .

Уравнение этой касательной имеет вид .

Физический смысл производной

Если тело движется по прямой по закону , то за промежуток времени (от момента до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени .

Скоростью движения тела в данный момент времени называется предел отношения приращения пути к приращению времени , когда приращение времени стремится к нулю:

.

Следовательно, производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени: .

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функция равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента :

Вторая производная

Производная функции в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .

Второй производной функции называется производная от ее первой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов . Таким образом, .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:

или , .

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

Условие постоянства функции. Дифференцируемая функция постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда внутри Х.

Условие возрастания функции. Дифференцируемая функция монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее производная не отрицательна внутри этого промежутка: , причем производная обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка Х.

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует с положительным направлением оси Ох острый угол или параллельна ей.

Условие убывания функции. Дифференцируемая функция монотонно убывает на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: , причем производная обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри Х.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции: