23

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Уч. пособие.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.

4. Данилаев П.Г. Математическая статистика с основами теории вероятностей. Казань: КГТУ, 1995.

5. Кожевников Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Машиностроение, 2002.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам.

Теория вероятностей

Теория вероятностей – это раздел прикладной математики, изучающий закономерности случайных явлений, т.е. таких явлений, которые при многократном повторении в одинаковых условиях могут протекать по-разному. Методы теории вероятностей широко применяются в теории информации, теории надёжности, теории массового обслуживания, теории автоматического управления, а также при планировании и организации производства, анализе технологических процессов, контроле качества продукции и во многих других областях человеческой деятельности.

1. Случайные события

1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных событий

Под событием понимается любой факт, который может произойти или не произойти. Примеры событий: появление герба при бросании монеты, появление трёх гербов при пяти бросаниях монеты, попадание в мишень при выстреле, отказ изделия при испытании на надёжность.

Эксперимент (испытание, опыт) – это воспроизведение определённой совокупности событий и наблюдение результатов этого воспроизведения. Воспроизводимые события называются условиями эксперимента (испытания, опыта), а те события, которые появляются или не появляются в результате воспроизведения условий – исходами. Примеры экспериментов: бросание монеты, выстрел по мишени, испытание изделия.

Событие называется достоверным, если в результате эксперимента оно всегда происходит. Событие называется невозможным, если в результате эксперимента оно никогда не происходит. Достоверное событие будем обозначать знаком , невозможное – знаком .

Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно иногда происходит, а иногда не происходит. Случайные события обозначаются буквами и т.д.

Если при каждом наступлении события А наступает и событие В, то говорят, что А – частный случай В (А влечёт за собой В, А благоприятствует В). Используются обозначения и .

События А и В называются равными (равносильными, эквивалентными), если одно из них происходит тогда и только тогда, когда происходит другое. Используется обозначение . При математическом описании случайных явлений равные события не различаются.

Событие, состоящее в совместном наступлении событий А и В, называется произведением событий А и В и обозначается или .

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обозначается или .

Понятия произведения и суммы обобщаются на случай произвольного конечного или счётного числа событий. Для произведения n событий используются обозначения и , для суммы – обозначения и .

Событие, состоящее в том, что в результате опыта событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается или .

События А и В называются несовместными, если их совместное появление в опыте невозможно, т.е. . События называются попарно несовместными, если несовместны любые два из них.

Говорят, что события образуют полную группу, если в результате опыта всегда появляется хотя бы одно из них, т.е. .

Событие , состоящее в том, что событие А в опыте не происходит, называется противоположным событию А.

Практика показывает, что из совокупности всех возможных исходов испытания можно выделить такое множество  событий, называемых элементарными, что при каждом повторении опыта появляется одно и только из них, а произвольное событие А в опыте происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из некоторого подмножества . Множество  будем называть пространством элементарных событий испытания. В зависимости от характера эксперимента оно может содержать конечное или бесконечное число элементов. Поскольку каждое подмножество однозначно определяется своими элементами, то между всеми возможными исходами испытания и всеми подмножествами  существует взаимнооднозначное соответствие.

Пусть А и В – возможные исходы испытания, а и – соответствующие подмножества. Тогда из определений произведения, суммы и разности событий следует, что событиям , и будут соответствовать подмножества , и . Из определения частного случая события следует, что в том и только в том случае, если . Подмножество, соответствующее достоверному (невозможному) событию, совпадает с пространством  (с пустым множеством ).

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Пример. Рассмотрим испытание, состоящее в подбрасывании кубика, на гранях которого нанесены номера . Пусть – элементарное событие, состоящее в появлении грани с номером i, А – появление грани с чётным номером, В – появление грани с номером, кратным трём. Тогда , , . Отсюда

, , , .