3.4. Нелинейные модели. Метод линеаризации

При изучении технологических процессов и параметров чаще всего приходится сталкиваться с нелинейными связями входных и выходных характеристик. При этом наиболее важным является вопрос об определении коэффициентов нелинейных моделей. Следует отметить, что благодаря методу линеаризации математический формализм построения линейных моделей может быть использован для построения нелинейных. Сущность метода линеаризации сводится к преобразованию нелинейных моделей к линейным, в результате чего производятся нелинейные преобразования над исходной матрицей.

Пусть необходимо построить математическую модель вида

, (3.30)

Преобразуем модель (3.30) к линейному виду методом логарифмирования:

;

. (3.31)

Обозначим t = lny; B₀₁ = lnB₀; x₁¹ = lnx₁; x₃¹ = x₃³. Тогда модель (3.30) в новых переменных имеет вид

,

где (t, x₁¹, x₃¹) – новые переменные значения которых в исходной матрице будут получены на основе преобразования (ln(y), ln(x₁), x₃³). В данном случае исходная матрица в преобразованном, готовом для использования линейных методов виде будет выглядеть так:

. (3.32)

Применяя к матрице (3.32) формулы (3.6)-(3.29), можно построить нелинейную модель (3.30). Таким же образом можно построить любую нелинейную модель.

3.5. Адекватность математических моделей

Для проверки адекватности математических моделей вычисляют остаточную сумму S_R:

,

где – величины зависимой переменной, определяемые по модельному уравнению;

– исходные значения величины (y), по которым была построена математическая модель.

Разброс результатов наблюдения относительно модельной линии характеризуется остаточной дисперсией

,

где – число степеней свободы, вычисляемое как (k – число независимых переменных модели; n – число наблюдений).

Дисперсия, характеризующая отклонение значений от среднего, определяется как

.

Рассматривая отношение остаточной дисперсии к дисперсии , можно оценить насколько расчетные данные по модели лучше, чем данные, предсказанные по среднему. Задача сравнения диспер-сий – это задача анализа F-распределения (критерий Фишера). Величина F-распределения определяется как

. (3.33)

Величина F сравнивается с табличным значением F_p при выбранном уровне значимости. Причем F-распределение зависит от числа степеней свободы числителя и знаменателя дисперсионного отношения (3.33). Гипотеза о равенстве дисперсий = отвергается при условии, что F > F_p(f_R, f_y). При введении стандартизированного масштаба дисперсия = = 1 и формула (3.33) имеют вид

.

91