Литература

Моделирование тепловых полей в сложных

пространственных формах

1. Д у л ь н е в Г. Н., П а р ф е н о в В. Г., С е п а л о в А. В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. – М.: Высш. школа, 1990.

2. С а м а р с к и й А. А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 1987.

3. Теория теплообмена / С.И.Исаев, И.А.Котелков и др. – М.: Высш. школа, 1979.

4. З а р у б и н В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. – М.: Энергоатомиздат, 1983.

5. Б е л я е в Н. М., Р я д н о А. А. Методы теории теплопроводности. В 2 т. – М.: Высш. школа, 1982.

6. П а т а н к а р С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. – М.: Энергоатомиздат, 1984.

7. С е г е р л и н д Л. Применение метода конечных элементов. –М.: Мир, 1979.

8. С а м а р с к и й А. А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983.

3.2. Метод наименьших квадратов. Одномерные математические модели

Пусть задана таблица (x_i, y_i), описывающая технологический процесс. На рис.3.3 представлено распределение x_i, y_i. Построить математическую модель – это значит, определить функцию y = f(x). В данном случае мы предполагаем, что функция имеет вид

y =B₀ + B₁x,

где B₀ и B₁ являются оптимальными параметрами, обеспечивающими наименьший разброс точек (x_i, y_i) относительно y = f(x). Основная задача математического моделирования состоит в определении коэффициентов B₀ и B₁, которые обеспечивают наименьший разброс исходных точек (x_i, y_i) относительно модельной функции f(x_i).

Для решения этой задачи строится функционал вида

,

который является суммой квадратов ₁, ₂, …, _n.

_i = y_i - f(x_i) – отклонение исходной и модельной точек. Чем меньше (S), тем ближе модельная функция к данным исходной матрицы, а значит, моделируемый процесс более адекватен внутренней структуре y = f(x).

y

x

Рис. 3.3. Схема метода наименьших квадратов

При этом отыскание минимизирующего набора коэффициентов B₀ и B₁ выводится из условий минимума дифференцируемой функции S(B₀, B₁). Система для нахождения минимизирующего набора B₀ и B₁ определяется из

(3.3)

Используя правило дифференцирования, получим

После подстановки f(x) = B₀ + B₁x_i получим

(3.4)

Решая систему (3.4) относительно B₀ и B₁, определяем формулы для построения моделей

; (3.5)

; (3.6)

; ,

где n – число точек (x_i, y_i);

, – средние значения x_i и y_i соответственно;

B₀ и B₁ – регрессионные коэффициенты модели.

Математическая модель (уравнение регрессии) может быть получена в терминах коэффициента корреляции (r) и полных дисперсий (_x², _y²):

; (3.7)

; (3.8)

; (3.9)

, (3.10)

где r_xy – коэффициент корреляции между x и y;

_x, _y – среднее квадратическое отклонение (_x², _y² – дисперсии).

Коэффициент корреляции r_xy является величиной, показывающей взаимосвязь между переменными x и y. Коэффициент корреляции может принимать значения в интервале [-1, 1]. Если r_xy  0, то это свидетельствует об отсутствии корреляции между величинами x и y.

По формулам (3.5) и (3.6) вычисляется уравнение регрессии. Далее можно оценить близость уравнения (модели) к исходным точкам (x_i, y_i), что является оценкой адекватности модели. При этом используют критерий Фишера

, (3.11)

где f(x_i) – величины, получаемые путем подстановки исходных x_i в модель f(x_i) = B₀ + B₁x_i;

k – число переменных модели.

Значение Фишера необходимо оценить по неравенству . Величины F_kp определяются по таблице для заданного условия значи-мости. При этом используются величины f₂ = n - k и f₁ = n - k - 1. Если F < F_кр, то модель адекватна, если нет, то неадекватна. В этом случае вид модели необходимо изменить. При этом можно увеличивать число переменных модели или изменять функцию f(x), вводя новые компоненты. Например, или y = exp(B₀ + B₁x²). В случае если не удается получить адекватную одномерную модель, переходят к двумерным моделям и, далее, к многомерным.