Решение:

Так как размерами шариков можно пренебречь, будем их рассматривать как материальные точки. Уравнение движения точки, брошенной вертикально вверх, при отсутствии сопротивления воздуха:

X=V₀*t-g*t²/2

где V₀-начальная скорость точки; g-ускорение свободного падения.

На первый взгляд может показаться, что шарик В следует бросать вверх одновременно с А. Однако скорость V₁ может оказаться слишком малой, и он поднимется на небольшую высоту и упадёт на землю раньше, чем шарик А успеет его догнать. Поэтому выбор момента времени бросания В играет существенную роль. Так как В, брошенный вверх через Т секунд после А, имеет меньшую начальную скорость. то встреча возможна только при возвратном движении А вниз.

Обозначим через t₁ время движения шарика А от его наивысшего положения до встречи с В. Тогда путь, пройденный шариком А вниз за время t₁, будет равен:

S₁=g*(t₁)²/2

Обозначим буквой t время, отсчитываемое от момента, когда шарик А находился в наивысшем положении, до момента начала движения шарика В. Тогда путь, пройденный шариком В до встречи с А, равен:

S₂=V₁*(t₁-t)-g*(t₁-t)²/2

Так как в момент времени t₁ точки встретились, то, следовательно:

S₁+S₂=h

где h-максимальная высота подъёма шарика А

h=(V₀)²/2g (1)

Тогда, подставляя в (1) значение всех величин, находим:

g*(t₁)²/2+V₁(t₁-t)-g(t₁-t)²/2=(V₀)²/2g (2)

Рассмотрим это уравнение как неявную зависимость t₁=f(t). Находим производную от t₁ по t и приравниваем ее к нулю:

dt₁/dt=1-g*t₁/(V₁+g*t)=0 V₁/g=t₁-t (3)

Но (V₁/g) равно времени подъёма шарика В на максимальную высоту. Следовательно, в момент встречи шарик В будет находиться в своём наивысшем положении. Подставим найденное значение (t₁-t) из (3) в уравнение (2). Тогда, после приведения подобных, находим:

(V₀)²/2g=g*(t₁)²/2+(V₁)²/2g

Откуда:

t₁=(1/g)

Далее, из уравнения (3) находим:

t=t₁-V₁/g=[-V₁+ ]/g (4)

Чтобы найти искомое время Т, по истечении которого с момента времени бросания шарика А следует бросить вверх шарик В, необходимо к t прибавить время t₀, в течении которого шарик А достигнет наивысшего положения:

T=t+t₀=V₀/g-V₁/g+ /g

Из формулы (4) следует, что:

t>0 (V₀)² > 2(V₁)²

t<0 (V₀)² < 2(V₁)²

t=0 (V₀)² = 2(V₁)²

Таким образом, при t>0 бросать шарик В нужно после того, как шарик А достигнет наивысшего положения; при t>0 бросать шарик В нужно до того, как шарик А достигнет наивысшего положения; при t=0 -в момент достижения шариком А максимальной высоты.

Задачи на тему: “Динамика”

Задача № 1

Условие задачи:

По гладкой наклонной поверхности скользит ящик с песком массой . После того, как ящик прошел путь S, в него попадает камень массой , летящий под углом  к горизонту. Какова была скорость камня, если ящик с песком после попадания в него камня остановился? Угол наклона поверхности к горизонту равен  (<). Скорости камня и ящика лежат в одной плоскости.

№ варианта	mя, кг	mк, кг	S, м			,м/c2
1	5	3	1	3	48	9,8
2	8	4	1	11	20
3	5	3	2	40	20
4	4	2	2	16	26
5	4	2	4	2	41
6	3	3	3	7	34
7	7	1	3	1	53
8	5	3	3	14	30
9	7	3	1	23	52
10	5	4	1	8	33
11	4	1	1	5	56
12	2	1	4	40	33
13	7	1	1	23	39
14	8	1	1	34	55
15	8	3	3	22	54