7. Шкали інтервалів

Якщо впорядкування об’єктів можна виконати настільки точно, що відомі відстані між довільними двома з них, то вимір виявиться помітно сильнішим, ніж у шкалі порядку. Істотно виражати усі відстані в одиницях, хоча й довільних, проте однакових по усій довжині шкали. Це означає, що об’єктивно рівні інтервали вимірюються однаковими по довжині відрізками шкали, де б вони не розміщалися. Наслідком такої рівномірності шкал цього класу являється незалежність відношення двох інтервалів від того, у якій із цих шкал ці інтервали виміряні (тобто яка одиниця довжини інтервалу та яке значення прийняте за початок підрахунку). Дійсно, якщо два інтервали в одній шкалі виражаються числами ∆₁х та ∆₂х, а при іншому виборі нуля і одиниці ∆₁у та ∆₂у, то, оскільки це об’єктивно ті ж самі інтервали, маємо ∆₁х/∆₂х = ∆₁у/∆₂у, звідки випливає, що введені шкали можуть мати довільні початок підрахунку та одиниці довжини, а зв’язок між показаннями у таких шкалах є лінійним: у = ах + b, a > 0, -∞ < b < ∞. Це співвідношення можна виразити словами: ”шкала інтервалів єдина з точністю до лінійних перетворень”

Прикладами величин, котрі по фізичній природі або не мають абсолютного нуля, або допускають свободу вибору в установленні початку розрахунку і тому вимірюються в інтервальних шкалах, являються температура, час, висота місцевості.

Початок літочислення у християн установлене від Різдва Христова, а у мусульман – на 622 роки пізніше – від переїзду Мохамеда (Магомета) у Медину; одиниці літочислення прив’язані до відносних переміщень Сонця та Місяця, проте в астрономії існує цілих шість різних визначень року. Висоту прийнято рахувати від рівня океану, але це призвело до того, що більша частина території Голландії та акваторії Каспійського моря має ... від’ємну висоту, бо розташовані нижче рівня океану.

Назва “шкала інтервалів” підкреслює, що у цій шкалі тільки інтервали мають смисл справжніх чисел і тільки над інтервалами слід виконувати арифметичні операції: якщо виконати арифметичні операції над самими підрахунками по шкалі, забувши про їх відносність, та є ризик отримати безглузді результати. Наприклад, якщо сказати, що температура води підвищилася у двічі при її нагріві від 9 до 18⁰ по шкалі Цельсія, то для тих, хто користується шкалою Фаренгейта, це буде звучати досить дивно, тому що у цій шкалі температура води у тому ж досліді зміниться від 37 до 42⁰.

Подібно до того як визначення значення символу Кронекера є єдиною допустимою операцією у номінальній шкалі, а обчислення рангу спостереження – у порядковій шкалі, у інтервальній шкалі єдиною новою допустимою операцією над спостереженнями є визначення інтервалу між ними. Над інтервалами ж можна виконувати довільні арифметичні операції, а разом з ними – використовувати підходящі способи статистичного або іншого оброблення даних.

8. Шкали відношень

Нехай величини, що спостерігаються, задовольняють не тільки аксіомам 4⁰ та 5⁰, але й аксіомам адитивності:

6⁰. Якщо A = P та B > 0, то A + B > P.

7⁰. A + B = B + A.

8⁰. Якщо A = P та B = Q, то A + B = P + Q.

9⁰. (A + B) + C = A + (B + C).

Це суттєве підсилення шкали: виміри у такій шкалі являється “повноправними” числами, з ними можна виконувати довільні арифметичні операції, так як віднімання, множення та ділення – лише часткові випадки додавання. Введена таким чином шкала називається шкалою відношень. Цей клас шкал володіє наступною особливістю: відношення двох значень вимірюваної величини не залежать від того, у якій з таких шкал зроблені виміри: х₁/х₂ = у₁/у₂. Цій вимозі задовольняє відношення виду у = ах (а ≠ 0). Таким чином, величини, що вимірюються у шкалі відношень, мають істотний, абсолютний нуль, хоча залишається свобода у виборі одиниць.

Прикладами величин, природа котрих відповідає шкалі відношень, являються довжина, вага, електричний опір, гроші.