5. Порядкові шкали

У випадках, коли спостережувана (вимірювана) ознака стану має природу, що не тільки дозволяє ототожнювати стани з одним із класів еквівалентності, але й дає можливість у деякому відношенні порівнювати різні класи, то для вимірювань можна вибрати більш сильну шкалу, ніж номінальна. Якщо ж не скористатися цим, то ми відмовимося від частки корисної інформації. Однак посилення вимірювальної шкали залежить від того, які саме відношення між класами дійсно існують.

Наступною по силі за номінальною шкалою є порядкова шкала (використовується також назва рангова шкала). Цей клас шкал з’являється, якщо окрім аксіом тотожності 1⁰ – 3⁰ класи задовольняють наступним аксіомам впорядкованості:

4⁰. Якщо А > B, то B < A.

5⁰. Якщо А > B, та B > C, то A > C.

Позначивши такі класи символами та установивши між цими символами відношення порядку, отримаємо шкалу простого порядку. Прикладами застосування такої шкали являються нумерація у черзі, військові звання, призові місця у конкурсі.

Іноді виявляється, що не кожну пару класів можна впорядкувати по перевазі: деякі пари вважаються рівними. У такому випадку аксіоми 4⁰ та 5⁰ видозмінюються:

4’. Або А ≤ B, або А ≥ B.

5’. Якщо А ≥ B та B ≥ C, то A ≥ C.

Шкала, що відповідає аксіомам 4⁰ та 5⁰ називається шкалою слабкого порядку. Прикладом такої шкали служить упорядкування за ступенем спорідненості з конкретною особою (мати = батько > син = дочка, дядько = тітка < брат = сестра і т. п.).

Інша ситуація виникає, коли є пари класів, не порівняних між собою, тобто ані А ≤ B, ані В ≤ А (це відрізняється від умови слабкого порядку, коли одночасно А ≥ B та В ≥ А, тобто А = В). У такому випадку кажуть про шкалу часткового порядку. Шкали часткового порядку виникають у соціологічних дослідженнях суб’єктивних переваг. Наприклад, при вивченні покупного попиту суб’єкт часто не у змозі оцінити, який саме з двох різних товарів йому більше подобається (наприклад, клітчаті шкарпетки чи фруктові консерви, велосипед чи магнітофон тощо).

Характерною особливістю порядкових) шкал є те, що відношення порядку нічого не каже про відстань між класами, що порівнюються. Тому порядкові експериментальні дані, навіть якщо вони зображені цифрами, не можна розглядати як числа, над ними не можна виконувати дії, що приводять до отримання різних результатів при перетворенні шкали, не порушуючи порядку. Наприклад, не можна обчислювати вибіркове середнє порядкових вимірів, тобто , тому що перехід до монотонно перетвореної шкали x` = f(x) при усередненні дасть ≠ . Однак допустима операція, що дозволяє встановити, котре з двох спостережень, x_i або x_j, переважає, хоча формально цю операцію можна виразити через різницю x_i - x_j. Введемо індикатор додатних чисел – функцію C(t) = {1: t ≥ 0; 0: t < 0}. Тоді, якщо x_i ≥ x_j і ми ввели цифрову шкалу порядку, то C(x_i - x_j) = 1, а C(x_j – x_i) = 0, що і дозволяє встановити перевагу x_i перед x_j. Число Ri = C(x_i - x_j), де n– число порівнюваних об’єктів (1 ≤ R_i ≤ n), називається рангом i–го об’єкта. (Звідси походить друга назва порядкових шкал – рангові). Якщо має місце слабкий порядок, то частина спостережень співпадає і всі члени отримують однаковий (старший для них) ранг.

Таким чином, при вимірах у порядкових (у суворому смислі) шкалах оброблення даних повинне основуватися тільки на допустимих для цих шкал операціях – обчисленні δ_ij та Ri. З цими числами можна “працювати” далі вже довільним чином: окрім знаходження частот та мод (як і для порядкових шкал), дозволяється можливість визначити вибіркову медіану (тобто спостереження з рангом Ri, найближче до числа n/2); можна визначити коефіцієнти рангової кореляції між двома серіями порядкових спостережень (r_s Спірмена, τ Кендала); будувати за допомогою отриманих величин інші статистичні процедури.

Суть зауваження “у суворому смислі” полягає у тому, що порядкові у суворому смислі шкали визначаються тільки для заданого набору порівняних об’єктів, у цих шкал немає загальноприйнятого, а тим більше абсолютного, стандарту. Тому при деяких умовах правомірне висловлювання “перший у світі, другий в Європі” – просто чемпіон світу зайняв друге місце на європейських змаганнях.