2. Функции многих переменных. Предел и непрерывность функций многих переменных. Частные производные и их геометрический смысл

Определение 2. Говорят, что на множестве задана функция переменных отображающая множество в множество если каждому поставлено в соответствие единственное число по закону . При этом множество называется областью определения функции а множество называется областью значений функции .

Часто в случае функцию многих переменных записывают в виде а в случае в виде В случае множество точек удовлетворяющих уравнению называется графиком функции двух переменных (см. Р.2). Заметим, что при аналитической записи функции нескольких переменных под областью определения понимают естественную область определе-

ния этой функции, т.е. множество аргументов при которых выражение имеет смысл (может быть вычислено). Например, областью определения функции яляется множество т.е. замкнутый круг радиуса, равного единице.

Замечание 1. При изображении области на плоскости рисуют кривую Пусть эта кривая простая, т.е. непрерывна и без точек самопересечения. Тогда берут произвольную точку и подставляют её в Если то эта точка и все точки находящиеся на кривой и по одну сторону от неё, будут лежать в области Это правило действует и в том случае, когда уравнение задаёт на плоскости несколько простых кривых.

График функции невозможно изобразить, если число независимых переменных больше двух. Однако в случае функции трех переменных можно привлечь некоторые геометрические иллюстрации. Поверхность

в трехмерном пространстве называется поверхностью уровня функции

. Изменяя постоянную , можно визуально себе представить все детали поверхности в плоскости В случае функции двух переменных линии являются плоскими кривыми, называемыми линиями уров-

н я. Ими пользуются в случае, когда объёмную фигуру хотят изобразить на плоскости. Например, при составлении географических карт, гора (холм) изображается в виде семейства линий уровня с ответвлениями во вне небольших отрезков, а впадины – с ответвлениям во внутрь коротких отрезков ( посмотрите эти изображения на любой географической карте).

Дадим теперь понятия предела и непрерывности функции многих переменных. Поскольку эти определения аналогичны определениям функции одной переменной, то сделаем это кратко. Пусть предельная точка множества а произвольная точка пространства

Определение 3. Следующее высказывание является определением предела функции в точке

¹

Определение 4. Функция называется непрерывной в точке если определена в точке и некоторой её окрестности и если

Для функции двух переменных определение предела записывается так:

Отсюда следует, что если предел существует, то он не зависит от того, по какому пути точка стремится к предельной точке (см. Р.3). Если найдутся два различных пути, по которым указанный предел имеет различные значения, то не существует.

Заметим, что все теоремы об арифметических действиях над пределами и непрерывными функциями, а также теоремы о переходе к пределу под знаком непрерывной функции непрерывности сложной функции и теорема о знаке предела, сформулированные для функций одной переменной, очевидным образом переносятся на функции многих переменных (рекомендуем записать соответствующие формулировки в качестве упражнения).

Пример 1. Вычислить предел

Решение. Перейдем к полярным координатам с помощью форомул Тогда Если точка стремится к точке по пути то и Если по пути то и тогда Таким образом, по двум различным путям, ведущим в точку рассматриваемый предел оказал-

ся различным. Следовательно, предел не существует.

Выписанные ниже пределы

называются повторными пределами функции в точке Они могут не совпадать друг с другом.

Теорема 1. Пусть существует обычный предел и пусть при любом фиксированном из некоторой окрестности точки существует предел Тогда существует и повторный предел и он равен двойному пределу Если, кроме того, при каждом из некоторой окрестности точки существует предел то

Введем теперь понятие элементарной функции нескольких переменных. Понятие простейщей элементарной функции одной переменной было дано в предыдущем семестре. Составим теперь таблицу всех простейших элементарных функций по каждой из переменных Тогда функция переменных полученная из функций указанной таблицы путём применения к ним конечного числа операций и взятия функции от функции (образования сложных функций), называется элементарной функцией переменных (общего вида).

Используя теоремы об арифметических действиях над пределами и пределе сложной функции, докажем следующий результат.

Теорема 2. Любая элементарная функция переменных непрерывна в любой внутрен-

ней точке своей области определения.

Например, функция является элементарной с областью определения

Все точки этого множества – внутренние, поэтому данная функция непрерывна в

Поскольку все результаты, касающиеся функций двух переменных, очевидным образом переносятся и на функции бо̀льшего числа переменных, то дальнейшее изложение материала

будем давать для функций двух переменных.

Перейдем к изложению дифференциального исчисления функций многих переменных. Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности

Определение 3. Пределы

(если они существуют и конечны) называются частными производными функции в точке по и по соответственно и обозначаются

(часто штрихи опускают и пишут просто ).

Геометрический смысл частных производных состоит в следующем. Проведем плоскость

Она вырежет из поверхности кривую (см. Р.4)

Угловой коэффициент этой кривой в точке будет равен И аналогично, частная производная является угловым коэффициентом кривой

_{в точке}

Из определения 3 вытекает, что для вычисления частной производной надо зафиксировать переменную (сделать ее параметром) и взять обычную производную по как функции одной переменной. Аналогичное замечание справедливо и по отношению к частной производной . Например, (здесь означает, что переменная фиксируется). И аналогично,