4. Сведение криволинейного интеграла второго рода по замкнутому контуру к двойному интегралу. Формула Грина

Имеет место следующее утверждение.

Теорема Грина. Пусть односвязная ограниченная область в с кусочно гладкой границей (в этом случае замкнутый контур) и пусть функции и и их частные производные непрерывны в Тогда имеет место равенство

Здесь контур обходится так, чтобы область оставалась слева от наблюдателя, идущему по этому контуру.

Доказательство проведем для области правильной в направлениях осей и с гладкой границей В этом случае область может быть описана двумя способами:

Поле можно записать в виде В силу линейности интеграла получаем, что

Преобразуем каждый из стоящих здесь интегралов:

Следовательно,

Аналогично показываем, что поэтому (согласно (4)) верно равенство (3).

Теорема доказана.

Пример 1 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты). Найти работу силы при перемещении вдоль отрезка от точки к точке .

Р ешение. Вычисления разобьём на две части: сначала вычис-лим работу от точки до точки , затем – от точки до точки

Значит,

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл если контур треугольника с вершинами пробегаемый против часовой стрелки.

Решение. Так как контур интегрирования замкнут, то можно воспользоваться формулой Грина:

.

Интеграл численно равен площади . Так как , то

5. Циркуляция и ротор векторного поля, их вычисление и физический смысл. Формула Стокса

Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл (здесь единичный вектор касательной к кривой в точке а сам контур ориентирован с помощью этого вектора).

Так как циркуляция есть изученный выше криволинейный интеграл второго рода, то она обладает всеми свойствами этого интеграла (линейность, аддитивность, ориентированность и т.д.). Он имеет тот же физический смысл: если сила, действующая на материальную точку , то циркуляция равна работе силового поля по перемещению точки вдоль контура . Для вычисления циркуляции поля можно воспользоваться формулой (2):

где параметрические уравнения контура , причем функ-

ц ии непрерывны на отрезке и на этом отрезке, а ориентация (обход) контура соответствует возрастанию параметра

С циркуляцией поля тесно связано понятие ротора этого поля, к описанию которого мы переходим. Пусть фиксированная точка области в которой действует поле , и пусть произвольное фиксированное направление в этой точке. Проведем плоскость через точку , ортогональную вектору , и окружим эту точку кусочно гладким контуром , лежащим в плоскости . Пусть область, окружённая контуром . Будем говорить, что направление и направление на контуре согласованы, если обход контура виден из конца вектора совершающимся против часовой стрелки. Итак, пусть направления и контура согласованы и пусть площадь области

Определение 3. Предел

когда контур стягивается в точку называется плотностью циркуляции поля в точке в направлении вектора .

Определение 4. Ротором (или вихрем) векторного поля в точке называется такой вектор проекция которого на любое направление совпадает с плотностью циркуляции поля в точке в направлении вектора , т.е. Обозначение:

Это определение ротора не зависит от выбора системы координат, т.е. является инвариантным. Используя формулу Грина, нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 3 (о вычислении ротора в декартовой системе координат). Пусть векторное поле задано в декартовой системе координат и пусть это поле непрерывно дифференцируемо в точке Тогда

где все частные производные вычисляются в точке (здесь символический определитель разложен по первой строке).

Опишем теперь связь между циркуляцией и ротором. Сначала отметим, что область называется поверхностно односвязной, если на любой замкнутый контур можно натянуть непрерывную поверхность не выходя из области Например, шар – поверхностно односвязная область, а шар с тоннелем – не является таковой, так как на любой замкнутый контур, охватывающий тоннель, нельзя натянуть непрерывную поверхность, не выходя из

Теорема Стокса. Пусть поверхностно односвязная область и пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в Тогда каков бы ни был кусочно гладкий замкнутый контур и какова бы ни была кусочно гладкая поверхность натянутая на контур имеет место равенство⁸

.

Здесь нормаль к поверхности направлена так, что её направление в каждой точке согласовано с направлением обхода контура

Пример 3 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты). Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура

Решение. Поскольку контур замкнутый (окружность, находящаяся в плоскости ), то можно воспользоваться формулой Стокса (6). В качестве поверхности натянутой на контур , удобно взять плоскость . Так как надо найти модуль циркуляции, то направление на контуре не имеет значения, а в качестве вектора можно взять вектор нормали к плоскости: Вычислим ротор:

По формуле Стокса имеем

Здесь проекция поверхности на плоскость т.е. круг радиуса Площадь этого круга равна Значит,

1 Далее значок “def” и некоторые скобки в определении предела будем опускать.

2 По определению дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями.

3 Здесь используется формула бинома Ньютона:

4 Здесь произвольная (текущая) точка нормали.

5 Заметим, что если равенство достигается только в точке , то соответствующий экстремум называется строгим экстремумом.

6 Замкнутое ограниченное множество в называется компактом.

7 Число связей должно быть меньше числа независимых переменных

8 Формулу (6) называют формулой Стокса.