
- •2 Семестр. Фнп. Кратные интегралы. Теория поля
- •1. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Понятие области
- •2. Функции многих переменных. Предел и непрерывность функций многих переменных. Частные производные и их геометрический смысл
- •3. Дифференцируемость функций многих переменных, связь с частными производными. Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости
- •1. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости сложной функции
- •2. Неявная функция и её дифференцирование
- •3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •4. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению, связь с градиентом
- •1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •2. Локальный экстремум функции нескольких переменных, необходимое условие экстремума. Достаточные условия существования экстремума
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •4. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Лекция 4. Двойные и тройные интегралы, их определения, свойства и вычисление путем сведения к повторным интегралам. Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел
- •1. Двойной интеграл, его свойства и вычисление
- •2. Тройной интеграл, его свойства и вычисление
- •3. Приложения кратных интегралов
- •1 . Криволинейные координаты на плоскости
- •2. Двойной интеграл в полярных координатах
- •3. Криволинейные координаты в пространстве. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
- •4. Площадь поверхности
- •1.Поверхностный интеграл
- •2. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Ориентируемые поверхности и поток векторного поля через поверхность
- •3. Дивергенция, её физический смысл и свойства. Формула Остроградского-Гаусса
- •1. Инвариантное определение дивергенции и её физический смысл
- •2. Соленоидальное поле и его свойства
- •3. Ориентируемые кривые. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление
- •4. Сведение криволинейного интеграла второго рода по замкнутому контуру к двойному интегралу. Формула Грина
- •5. Циркуляция и ротор векторного поля, их вычисление и физический смысл. Формула Стокса
4. Сведение криволинейного интеграла второго рода по замкнутому контуру к двойному интегралу. Формула Грина
Имеет место следующее утверждение.
Теорема
Грина. Пусть
односвязная
ограниченная область в
с кусочно гладкой границей
(в этом случае
замкнутый
контур) и пусть функции
и
и их частные производные
непрерывны в
Тогда имеет место равенство
Здесь контур
обходится так, чтобы область
оставалась слева от наблюдателя, идущему
по этому контуру.
Доказательство
проведем
для области
правильной
в направлениях осей
и
с гладкой границей
В этом случае область
может быть описана двумя способами:
Поле
можно записать в виде
В силу линейности интеграла получаем,
что
Преобразуем каждый из стоящих здесь интегралов:
Следовательно,
Аналогично
показываем, что
поэтому (согласно (4)) верно равенство
(3).
Теорема доказана.
Пример
1 (Кузнецов
Л.А. Типовые расчеты).
Найти работу
силы
при перемещении вдоль отрезка
от точки
к
точке
.
Р
ешение.
Вычисления
разобьём на две части: сначала вычис-лим
работу от точки
до точки
,
затем – от точки
до точки
Значит,
Пример 2.
Вычислить
криволинейный интеграл
если
контур
треугольника
с вершинами
пробегаемый против часовой стрелки.
Решение. Так как контур интегрирования замкнут, то можно воспользоваться формулой Грина:
.
Интеграл
численно равен площади
.
Так как
,
то
5. Циркуляция и ротор векторного поля, их вычисление и физический смысл. Формула Стокса
Циркуляцией
векторного поля
вдоль замкнутого контура
называется криволинейный интеграл
(здесь
единичный вектор касательной к кривой
в
точке
а
сам контур
ориентирован с помощью этого вектора).
Так
как циркуляция есть изученный выше
криволинейный интеграл второго рода,
то она обладает всеми свойствами этого
интеграла (линейность, аддитивность,
ориентированность и т.д.). Он имеет тот
же физический смысл: если
сила,
действующая на материальную точку
,
то циркуляция
равна работе
силового поля
по перемещению точки
вдоль контура
.
Для вычисления циркуляции поля
можно воспользоваться формулой (2):
где
параметрические уравнения контура
,
причем функ-
ц
ии
непрерывны на отрезке
и
на этом отрезке, а ориентация (обход)
контура
соответствует
возрастанию параметра
С циркуляцией
поля
тесно связано понятие ротора этого
поля, к описанию которого мы переходим.
Пусть
фиксированная
точка области
в которой действует поле
,
и пусть
произвольное
фиксированное направление в этой точке.
Проведем плоскость
через точку
,
ортогональную вектору
,
и окружим эту точку кусочно гладким
контуром
,
лежащим в плоскости
.
Пусть
область, окружённая контуром
.
Будем говорить, что направление
и направление на контуре
согласованы,
если обход контура
виден из конца вектора
совершающимся против
часовой стрелки.
Итак, пусть направления
и контура
согласованы
и пусть
площадь
области
Определение 3. Предел
когда контур стягивается в точку называется плотностью циркуляции поля в точке в направлении вектора .
Определение
4. Ротором
(или вихрем) векторного поля
в
точке
называется такой вектор
проекция
которого на любое направление
совпадает с плотностью циркуляции
поля
в
точке
в направлении вектора
, т.е.
Обозначение:
Это определение ротора не зависит от выбора системы координат, т.е. является инвариантным. Используя формулу Грина, нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема
3 (о
вычислении ротора в декартовой системе
координат).
Пусть
векторное поле
задано
в
декартовой системе координат и пусть
это поле непрерывно дифференцируемо
в точке
Тогда
где все частные производные вычисляются в точке (здесь символический определитель разложен по первой строке).
Опишем теперь
связь между циркуляцией и ротором.
Сначала отметим, что область
называется поверхностно
односвязной,
если на любой замкнутый контур
можно натянуть непрерывную поверхность
не
выходя из области
Например, шар –
поверхностно односвязная область, а
шар
с тоннелем – не является таковой, так
как на любой замкнутый контур, охватывающий
тоннель, нельзя натянуть непрерывную
поверхность, не выходя из
Теорема
Стокса. Пусть
поверхностно
односвязная область и пусть векторное
поле
непрерывно дифференцируемо в
Тогда
каков бы ни был кусочно гладкий замкнутый
контур
и какова бы ни была кусочно гладкая
поверхность
натянутая на контур
имеет место равенство8
.
Здесь
нормаль
к поверхности
направлена так, что её направление в
каждой точке
согласовано с направлением обхода
контура
Пример
3 (Кузнецов
Л.А. Типовые расчеты).
Найти модуль циркуляции векторного
поля
вдоль контура
Решение.
Поскольку контур
замкнутый (окружность, находящаяся в
плоскости
),
то можно воспользоваться формулой
Стокса (6). В качестве поверхности
натянутой
на контур
,
удобно взять плоскость
.
Так как надо найти модуль циркуляции,
то направление на контуре не имеет
значения, а в качестве вектора
можно взять вектор нормали к плоскости:
Вычислим ротор:
По формуле Стокса имеем
Здесь
проекция
поверхности
на плоскость
т.е.
круг радиуса
Площадь этого круга равна
Значит,
1 Далее значок “def” и некоторые скобки в определении предела будем опускать.
2 По определению дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями.
3 Здесь используется формула бинома Ньютона:
4 Здесь произвольная (текущая) точка нормали.
5 Заметим, что если равенство достигается только в точке , то соответствующий экстремум называется строгим экстремумом.
6 Замкнутое ограниченное множество в называется компактом.
7 Число связей должно быть меньше числа независимых переменных
8 Формулу (6) называют формулой Стокса.