1. Инвариантное определение дивергенции и её физический смысл

Пусть векторное поле задано в области и пусть фиксированная точка этой области.

Окружим точку произвольной замкнутой поверхностью а тело с границей Пусть объём тела

Определение 1. Если существует конечный предел

когда поверхность стягивается в точку и этот предел не зависит от выбора поверхности то его называют дивергенцией поля в точке

Нетрудно показать, что это инвариантное определение дивергенции совпадает с ранее данным её определением, если поле дано в декартовой системе координат. Действительно, по теореме Остроградского-Гаусса имеем

Здесь мы воспользовались теоремой о среднем и тем фактом, что при точка Таким образом, инвариантное определение дивергенции совпадает с ранее данным её определением в декартовой системе координат.

Инвариантное определение дивергенции позволяет выяснить ее физический смысл. Пусть поле скоростей движующейся жидкости. Будем считать, что в области нет стоков. Тогда величина есть количество жидкости, отнесённое к объёму (средняя плотность мощности источников в ), а предел этой величины при (т.е. ) есть плотность мощности источников, находящихся в точке

2. Соленоидальное поле и его свойства

Поле называется соленоидальным в области если Это означает, что в либо нет источников и стоков, либо их суммарная мощность равна нулю.

Соленоидальное поле обладает следующими свойствами (ниже предполагается, что односвязная область, а поле непрерывно дифференцируемо в ):

1. Если поле соленоидально в области то поток через любую кусочно гладкую замкнутую поверхность равен нулю.

2 (закон сохранения интенсивности векторной трубки). Если поле соленоидально в области и – произвольная векторная трубка этого поля, то поток через любое поперечное сечение этой трубки постоянен (т.е. не зависит от поперечного сечения .)

Докажем только свойство 1. Так как поле соленоидально в области то а значит, по теореме Остроградского- Гаусса имеем

ч.т.д

3. Ориентируемые кривые. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление

Если на кривой указан порядок следования её точек, то кривая называется ориентированной кривой. Укажем на наиболее распространённые типы ориентации.

а) Кривая – спрямляемая дуга без точек самопересечений. Ориентация: указание начальной точки и конечной точки (точки следуют от к – положительная ориентация, противоположное направление – отрицательная ориентация).

б) Если кривая задана параметрически уравнениями

то положительная ориентация задается по возрастанию параметра , а отрицательная ориентация – по убыванию параметра

в) Если кривая задана параметрически уравнениями

причем функции непрерывно дифференцируемы на отрезке и то каждая точка ориентируется по направлению вектора положительная ориентация; если точки кривой направлены по направлению вектора то кривая будет иметь отрицательную ориентацию.

Кривые с положительной ориентацией обозначаются обычно а с отрицательной ориентацией – Перейдем теперь к понятию криволинейного интеграла. Сначала дадим определение криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги).

Пусть в пространстве задана некоторая непрерывная спрямляемая (простая) дуга и пусть функция определена на этой дугу. Произведем разбиение дуги на частичные дуги . Обозначим через длину дуги , а через диаметр разбиения Пусть произвольная точка дуги .

Определение 1. Если существует конечный предел интегральных сумм:

и этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) и обозначают При этом функция называется интегрируемой вдоль дуги

Криволинейный интеграл обладает всеми свойствами обычных интегралов. Перечислим их (везде ниже – кусочно гладкая спрямляемая дуга):

(Линейность). Если функции интегрируемы вдоль дуги , то и функция также интегрируема вдоль дуги и имеет место равенство

(Аддитивность). Если дуга разбита точкой на две дуги и и если функция интегрируема на дуге то она интегрируема и на дугах

и ( и обратно). При этом имеет место равенство

(Теорема о среднем). Если функция непрерывна на ограниченной кусочно гладкой спрямляемой дуге , то найдется точка такая, что

где длина дуги .

Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации дуги , т.е.

Последнее свойство следует из того, что в интегральной сумме для криволинейного интеграла длина дуги не зависит от ориентации дуги .

Теорема 1(о вычислении криволинейного интеграла первого рода). Пусть дуга задана параметрически уравнениями причем функции

непрерывны на отрезке . Пусть, кроме того, функция непрерывна на дуге . Тогда

.

Доказательство. Воспользуемся определением криволинейного интеграла:

Пусть Из первого семестра нам известно, что По теореме о среднем для обычного интеграла найдётся точка такая, что

Подставляя это в интегральную сумму и учитывая, что в силу непрерывности функции будет ,

получим

Теорема доказана.

Физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Если плотность стержня в точке то масса этого стержня (рассуждения те же самые, что и при выяснении физического смысла двойного интеграла).

Перейдём теперь к понятию криволинейного интеграла второго рода (по координатам).

Пусть – ориентированная дуга (можно считать, что она ориентирована от начала до конца ) и пусть векторное поле определено на этой дуге. Произведем разбиение дуги на частичные дуги точками в направлении ориентации дуги (т.е. точка следует за точкой если ). Обозначим Возьмем произвольно точку и составим интегральную сумму

Определение 2. Если существует конечный предел интегральных сумм:

и он не зависит от вида разбиения и выбора точек то его называют криволинейным интегралом второго рода от векторного поля

вдоль ориентированной дуги и обозначают При этом поле называется интегрируемым на дуге .

Заметим, что в криволинейном интеграле второго рода в качестве подынтегральной функции выступает скалярное произведение

Ясно, что такой интеграл обладает всемы свойствами криволинейного интеграла первого рода, за исключением свойства Интеграл второго рода зависит от ориентации кривой :

Это вытекает из того, что при изменении ориентации кривой в интегральной сумме вектор заменяется на противоположный вектор

Приведем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 2 (о вычислении криволинейного интеграла второго рода). Пусть дуга задана параметрически уравнениями причем функции

непрерывны на отрезке и Пусть, кроме того, векторное поле непрерывно на дуге и эта дуга ориентирована по возрастанию параметра Тогда

где

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода состоит в следующем: если сила, действующая на материальную точку , то интеграл равен работе силового поля по перемещению точки вдоль пути .