3. Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак

Ряд называется знакоположительным, если все его члены Заметим, что если неравенства выполняются, начиная с некоторого номера то заменив первые его членов на произвольные положительные числа, сделаем указанный ряд знакоположительным, причем полученный ряд и исходный ряд будут сходиться или расходится одновременно.

12. Частичные суммы образуют неубывающую последовательность.

Действительно, так как (учесть, что ), то последовательность не убывает. Из свойства 7 вытекает следующее отверждение.

Общий признак сходимости знакоположительных рядов. Если последовательность частичных сумм знакоположительного ряда ограничена сверху, то это ряд сходится.

Замечание 2. Так как последовательность частичных сумм знакоположитель-

ного ряда не убывает, то при расходимости соответствующего ей ряда предел (почему?). В этом случае считают, что сумма ряда

Теорема сравнения I. Пусть для рядов

выполнены неравенства

Тогда из сходимости ряда (3) вытекает сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) вытекает расходимость ряда (3).

Доказательство. Пусть сходится ряд (3). Тогда последовательность его час-

тичных сумм ограничена, т.е. существует постоянная такая, что

Учитывая неравенства (4), будем иметь т.е. последователь-

ность ряда (2) ограничена сверху. Отсюда (по общему признаку сходимости) следует, что ряд (2) сходится. Если теперь ряд (2) расходится, то (так как последовательность неубывающая). Переходя в неравенстве к пределу при получаем, что и т.е. ряд (3) также расходится. Теорема доказана.

Теорема сравнения II. Пусть для знакоположительных рядов

выполнены условия:

1) 2) существует предел

Тогда ряды (2) и (3) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Замечание 3. Обычно эта теорема применяется в случае, когда последовательности и эквивалентны В этом случае При этом в качестве ряда (3) берут обобщенный гармонический ряд а для описания поведения общего члена ряда (2) пользуются таблицей 1 эквивалентных бесконечных малых. Ниже будет показано, что обобщенный гармонический ряд сходится, если и расходится при

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Имеем Постоянная не влияет на сходимость ряда (см. утверждение 11), поэтому ее можно не учитывать. Ряд сходится, так как а значит, и исходный ряд также сходится.

Сформулируем ещё три признака, которые используются при исследовании сходимости рядов.

Признак Даламбера. Пусть знакоположительный ряд таков, что и пусть существует (конечный или бесконечный) предел Тогда при указанный ряд сходится, а при он расходится. При ничего о сходимости данного ряда сказать нельзя; нужны дополнительные исследования.

Признак Коши (радикальный). Пусть знакоположительный ряд таков, что существует (конечный или бесконечный) предел Тогда при указанный ряд сходится, а при он расходится. При ничего о сходимости данного ряда сказать нельзя; нужны дополнительные исследования.

Интегральный признак сходимости Коши. Пусть для ряда выполнены следующие условия:

1) функция неотрицательна и непрерывна при

2) функция не возрастает на промежутке

Тогда ряд и интеграл одновременно сходятся или одновременно расходятся. При этом имеет место следующая оценка остатка

Используем, например, этот признак для исследования сходимости обобщенного гармонического ряда Составим функцию (заменив в натуральное число на ). Функция удовлетворяет условиям 1) и 2) интегрального признака Коши, поэтому ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно. Из предыдущих лекций известно, то эталонный интеграл сходится при и расходится при Значит, и обобщенный гармонический ряд сходится, если и расходится при

Лекция 2. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница и оценка остаточного члена знакочередующегося ряда.

Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса

Если ряд содержит бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных членов то этот ряд называется знакопеременным рядом.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится его “модульный” ряд Если же ряд сходится, а его “модульный”² ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Теорема 1 (об обычной сходимости абсолютно сходящегося ряда). Если ряд , то

сходится и ряд

Доказательство. Так как сходится ряд то для него справедлив признак Коши сходимости:

Тогда для ряда и указанного имеем

т.е. для ряда также выполняется признак Коши сходимости, поэтому он сходится. Теорема доказана.

Например, ряд абсолютно сходится, так как сходится его модульный ряд

В качестве условно сходящегося ряда можно указать ряд (его сходимость вытекает из теоремы Лейбница, сформулированной ниже). Его модульный ряд

расходится.

С абсолютно сходящимися рядами можно обращаться так же, как и с конечными сумма-

ми, а именно: имеют место следующие свойства абсолютно сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится абсолютно, то в нем можно произвольным образом перестав-

лять слагаемые; при этом вновь полученный ряд будет также сходиться абсолютно к той же сумме, что и исходный ряд.

2. Если ряд сходится абсолютно, то в нем можно произвольным образом группировать члены, заключая их в скобки; при этом ряд, полученный из просуммированных членов в скобках, будет также абсолютно сходиться к той же сумме, что и исходный ряд.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то каково бы ни было наперед задан-ное число ( может быть ра́вным ), можно так переставить члены этого ряда, что

вновь полученный ряд будет сходиться к числу