2 Семестр. Ряды

В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Последовательность и ее предел. Теоремы о пределах. Предел монотонной последовательности. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Действия со сходящимися рядами. Признак Коши сходимости рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения, Даламбера и Коши

На предыдущих лекциях подробно изучались функции непрерывного аргумента, их пределы и свойства пределов. В теории рядов фундаментальную роль играют последовательности (т.е. функции дискретного аргумента) и их пределы. Перейдем к изучению соответствующего теоретического материала.

1. Предел последовательности. Арифметические действия над пределами. Предел монотонной последовательности

Последовательностью называется функция натурального аргумен-

та. При этом называется общим членом, а множество областью определения последовательности

Например, последовательность, называемая арифметической прогрессией ( постоянные, не зависяшие от ). Другой пример: Здесь областью определения является множество

Определение 1. Число называется пределом последовательности при ес-

ли ¹ При этом пишут и если этот предел существует и конечен, то говорят, что последовательность сходится; в против-

ном случае она называется расходящейся последовательностью.

Перечислим основные свойства предела последовательности.

1. Если предел существует, то он единственный.

2. Если в последовательности отбросить любое конечное число членов или заменить их на любые другие числа, то новая последовательность и старая последовательность будут одновременно расходиться или сходиться (к одному и тому же пределу ).

Из этого свойства вытекает, что не умоляя общности, можно считать, что последовательность определена при всех

3. Если предел существует и конечен, то последовательность ограничена, т.е.

4. Если пределы существуют и конечны, то существуют и пределы

Если при этом то существует и предел частного

5(критерий Коши сходимости). Для того чтобы существовал конечный предел необходимо и достаточно, чтобы

6. При любом фиксированном последовательности и одновременно сходятся или одновременно расходятся, причем в случае сходимости они имеют один и тот же предел

7.Если последовательность не убывает (т.е. если ) и ограничена сверху (т.е. ), то она имеет конечный предел Ана-

логичное утверждение верно и для невозрастающей и ограниченной снизу последовательнос-

ти

Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если При этом пишут Две бесконечно малые последовательности и назы-

ваются эквивалентными, если При этом пишут

8. Для того чтобы существовал (конечный) предел необходимо и достаточно, чтобы имело место представление

9. Если то

При вычислении пределов последовательности часто используется следующая таблица эквивалентных бесконечно малых.

Таблица 1.

Если при то при верны следующие соотношения:

.

10)

Например, при вычислении предела заменяем ,

Будем иметь