Пример 1
Найдите область определения и область
значений функции двух переменных
.
Решение
Область определения заданной функции
находится из условия
,
или
.
Из последнего неравенства следует, что
область определения
– это внутренность круга, ограниченного
окружностью
.
Область значений функции найдем,
записывая ее аналитическое выражение
в виде:
,
или
.
Следовательно, функция задает верхнюю
половину сферы с центром в начале
координат и радиусом
(рис.2). Из рисунка 2 видно, что
,
то есть областью значений функции
является множество
.
Рис. 2.
Определение 2
Пусть на множестве
задана функция
и пусть
– предельная точка множества
.
Число
называют пределом функции
в
точке
и записывают
или
.
Иначе говоря, если для любой
– окрестности точки
(
)
найдется
–
окрестность точки
(
),
для которой справедливо: если точка
,
то значение функции в этой точке
.
Замечание 1
Учитывая определение окрестностей в пространстве , определение предела для функции нескольких переменных можно записать в следующем виде:
Пусть функция
задана на множестве
и
- предельная точка
.
,
если
:
:
.
Замечание 2
Все теоремы о пределах для функции одной переменной справедливы и для функций двух переменных.
Пример 3
Функция
не имеет предела в точке
- начале координат. Если задать
последовательности точек, стремящихся
к началу координат по прямым
,
то
.
Если же рассмотреть последовательность
точек, сходящуюся к началу координат
по параболе
,
то
.
Пример 4
Пусть задана функция
.
Предел этой функции в начале координат
равен
.
Это следует из того, что можно сделать
замену переменных
и перейти к пределу функции одной
переменной
.
.
Определение 3
Функция
,
определенная на множестве
,
называется непрерывной в точке
,
если в этой точке существует конечный
предел, равный значению функции в этой
точке, то есть
.
Определение 4
Пусть на множестве
задана функция
и пусть
.
Пусть числа
таковы, что точка
.
Полным приращением функции
в точке
называется число
.
Теорема 1
Для того чтобы функция
,
заданная на множестве
,
была непрерывна в точке
необходимо и достаточно, чтобы
.
Определение 5
Функция , заданная на множестве и непрерывная в каждой точке , называется непрерывной на множестве .
Определение 6
Точка, в которой не выполнено условие непрерывности, называется точкой разрыва функции.
Замечание
Множества точек разрыва функции нескольких переменных может иметь самую разнообразную структуру. В частности, они могут образовывать линии разрыва.
Пример 5
Прямая
является линией разрыва для функции
.
Для непрерывных функций двух переменных справедливы следующие теоремы.
Теорема 2
Функция , непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве , ограничена на этом множестве и достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.
4. Частные производные функции двух переменных
Определение 1
Пусть функция
определена на множестве
.
Пусть точки
,
и
принадлежат этому множеству. Частным
приращением функции
по переменной
называется число, равное разности
значений функции в этих точках, то есть
.
Частное приращение обозначается
или
.
В частности, для функции двух переменных
частные приращения в точке
по переменным
и
равны:
,
.
Определение 2
Пусть функция
определена на множестве
и пусть
.
Если существует
,
то он называется частной производной
функции
по переменной
и обозначается
или
.
В частности, для функции двух переменных
частные производные по
и
определяются как пределы:
,
,
если они существуют.
Замечание 1
Ясно, что частные производные функции двух переменных в свою очередь являются функциями этих же переменных.
Замечание 2
Из определения
частных производных следует, что при
вычислении частной производной функции
по переменной
,
следует рассматривать ее как функцию
одной переменной
,
а переменную
считать
постоянной.
Замечание 3
Из определения частных производных и замечания 2, можно сделать вывод, что при частном дифференцировании функции двух переменных справедливы все правила дифференцирования, а также таблица производных, полученные для функции одной переменной.
Пример 1
Вычислите частные производные функции
двух переменных
.
Решение
Заданная функция является степенной относительно переменной и показательной относительно переменной . Поэтому
.
Пример 2
Вычислить частные производные для
функции двух переменных
.
Решение
Используя правило дифференцирования частного, вычислим
,
или
.
Поскольку переменные
и
входят в аналитическое выражение функции
симметрично, то частную производную по
можно получить, заменяя в частной
производной
на
,
а
на
.
То есть
.
Следует заметить, что частным производным функции двух переменных можно дать наглядный геометрический смысл.
Теорема 1
Путь функция двух переменных
определена на множестве
и точка
.
Частная производная
равна
,
где
- угол между касательной, проведенной
к пространственной кривой, заданной
системой
,
в точке с координатами
и осью
(рис. 3).
Рис. 3.
Справедлива аналогичная теорема о
геометрическом смысле частной производной
.
Теорема 2
Пусть функция двух переменных
определена на множестве
и точка
.
Частная производная
,
где
- угол между касательной, проведенной
к пространственной кривой, заданной
системой
,
в точке с координатами
и осью
.
Пример 3
Какой угол составляет касательная к
кривой
в точке
с осью
?
Решение
Если
- искомый угол, то
.
Определим
и вычислим в точке
.
,
следовательно, искомый угол
.
5. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости
Определение
Функция
называется дифференцируемой в точке
,
где
- область определения функции, если ее
полное приращение
в этой точке можно представить в виде:
,
где
- числа, которые зависят только от
координат точки
и не зависят от
,
а
есть бесконечно малая более высокого
порядка, чем бесконечно малая
.
Замечание 1
Заметим, что согласно
определению полное приращение
дифференцируемой функции представимо
в виде двух частей. Первая часть –
является линейной относительно приращений
.
а вторая –
является бесконечно малой более высокого
порядка, чем каждое приращение
.
Замечание 2
В отличие от функции одной переменной для функции многих переменных нельзя сформулировать условие, которое является одновременно необходимым и достаточным условием дифференцируемости.
Теорема 1 (Необходимое условие дифференцируемости)
Если функция двух переменных дифференцируема
в некоторой точке, то она непрерывна в
этой точке и имеет в ней конечные частные
производные
и
.
Следствие 1
Числа
в определении дифференцируемой функции
равны значениям частных производных в
точке дифференцируемости. Следовательно,
полное приращение функции
,
дифференцируемой в точке
,
можно представить в виде
,
где
- бесконечно малая более высокого
порядка, чем
при всех
.
Следствие 2
Если у функции
не существует конечная частная производная
хотя бы по одной переменной
,
то в точке
функция не является дифференцируемой.
Пример
Функция двух переменных
определена на полуплоскости:
и
.
Ее частные производные равны:
, 
.
Так как
не существует при
,
то заданная функция не является
дифференцируемой на луче
,
входящем в область определения.
Теорема 2 (Достаточное условие дифференцируемости).
Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные и , то она в этой точке дифференцируема.
6. Производная сложной функции. Полная производная
Теорема
Пусть на множестве
задана
дифференцируемая по переменным
функция
и функции
,
в свою очередь являются дифференцируемыми
функциями двух независимых переменных
.
Тогда функция
является сложной дифференцируемой
функцией независимых переменных
и частные производные от функции
по этим переменным равны:
,
где
.
Для сложной функции двух переменных
,
где
и
,
частные производные по независимым
переменным
и
вычисляются по формулам
, 
.
Следствие
Если на множестве
задана
дифференцируемая по переменным
функция
и если функции
,
- дифференцируемые функции независимой
переменной
,
то функция
является сложной дифференцируемой
функцией одной переменной
и ее полная производная по независимой
переменной
равна:
.
Пример
Найти полную производную по
от функции
,
если
,
.
Решение
По
формуле полной производной
.
Тогда
, 
,
, 
.
Подставляя вычисленные производные в формулу, получим
.
7. Дифференциал функции двух переменных. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Определение
Если функция
дифференцируема в точке
из ее области определения
,
то линейная относительно приращений
часть полного приращения функции, то
есть величина
называется дифференциалом функции
в точке
и обозначается
.
Формулу для дифференциала в точке можно записать в виде:
.
Поскольку для независимых переменных
,
,
то последнюю формулу для дифференциала
в произвольной точке можно записать
как
.
Для дифференцируемой функции двух переменных формула ее дифференциала в каждой точке дифференцируемости имеет вид:
,
или
,
Пример
Найти значение дифференциала функции
в точке
,
если приращения
,
.