Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
1. Прямое произведение
множеств. Пространство
.
Определение 1
Пусть заданы два множества
и
.
Прямым произведением
этих множеств называется множество
всех упорядоченных пар
,
где
и
.
Замечание
Упорядоченность
пары
следует понимать в том смысле, что
.
Пример
Если
– множество всех вещественных чисел,
то прямое произведение
или пространство
– это множество всех упорядоченных пар
вещественных чисел. Если использовать
метод координат, то можно установить
взаимно однозначное соответствие между
элементами
и точками
плоскости с выбранной на ней системой
координат.
Определение 2
Элементы
называются точками пространства
и обозначаются
.
Вещественные числа
называются координатами точки
.
Определение 3
Расстоянием между точками
и
пространства
называется число,
,
которое определяется по формуле:
.
Пространство , в котором определено расстояние между двумя точками (метрика), называется метрическим.
2. Окрестности точек в пространстве . Классификация точек. Открытые и замкнутые множества.
Определение 1
Пусть
и
– вещественное число.
– окрестностью
точки
называется множество точек
,
для которых справедливо:
.
– окрестность
точки
обозначается
.
Определение 2
Пусть
и
.
Проколотой
– окрестностью
точки
называется множество
,
то есть множество точек
,
для которых справедливо:
.
Проколотая
– окрестность
точки
обозначается
.
Определение 3
Точка
называется
внутренней точкой множества
,
если
.
Определение 4
Точка
называется граничной точкой множества
,
если ее любая окрестность содержит как
точки множества
,
так и точки, не принадлежащие
.
Определение 5
Точка называется предельной точкой множества , если любая ее проколотая окрестность содержит хотя бы одну точку множества .
Замечание
Граничные и предельные точки множества могут и не принадлежать этому множеству.
Определение 5
Совокупность всех граничных точек множества называется его границей.
Пример 1
Пусть множество
является объединением множества пар
чисел
,
для которых
,
и точки
.
Все точки этого множества кроме точки
внутренние и предельные. Точки
,
для которых
– граничные и предельные. Точка
не является ни внутренней, ни предельной,
ни граничной.
Определение 6
Множество называется открытым, или связной областью, если все его точки внутренние.
Определение 7
Множество
называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки.
Пример 2
Множество
:
является открытым. Множество
:
является замкнутым.
.
3. Функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных
Определение 1
Функцией двух переменных называется
отображение некоторого множества
на множество вещественных чисел
.
Иначе говоря, функция – это правило, по
которому
ставится в соответствие одно и только
одно вещественное число
.
Это правило (соответствие) обозначают:
или
.
Множество
называется областью определения функции,
а множество
– областью значений функции
.
Замечание
Обычно для функции
двух переменных используют обозначение
.
В трехмерном евклидовом пространстве
с введенной декартовой системой координат
функция
задает некоторую поверхность. Например,
функция
задает параболоид вращения (рис. 1).
Рис. 1.