2.4 Методические указания

Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

Математическая модель объектов электроэнергетики обычно  составляется в форме систем дифференциальных и алгебраических уравнений.

  При формализации математической модели необходимо выбрать метод решения дифференциального уравнения (ДУ) или системы уравнений, описывающих данный динамический процесс. Использование современных вычислительных средств значительно повысило точность приближенных численных методов, их быстродействие. Многие  математические компьютерные приложения упрощают применение численных методов расчета и делают их универсальными. Наиболее распространенными в настоящее время пакетами математических прикладных программ для инженерных расчетов являются «Mathcad» и «Matlab».

 

2.4.1 Решение ду модифицированным методом Эйлера

         Простейшим численным методом решения одиночного дифференциального уравнения вида

.                                                (1)

является метод Эйлера. Он реализуется следующей рекуррентной формулой

.                                        (2)

Здесь h— шаг решения. Погрешность этого метода значительна (порядка h), поэтому он на практике почти не применяется. Более точным является модифицированный методом Эйлера, реализуемый формулой

,              (3)

погрешность которого близка к h² (то есть по­рядка 1% при h =0,1), что нередко уже приемлемо для приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Улучшение точности вычислений при использовании этого метода, фактически достигнуто за счет интегрирования методом трапеций вместо метода прямо­угольников, характерного для реализации простого метода Эйлера.

Простейшее звено (рисунок 1), описывается дифференциальным уравнением первого порядка

                                          (4)

В примере, пприведенном ниже, дана реализация в приложении «Mat lab» моди­фицированного метода Эйлера.

 

2.4.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

При переходе от решения одиночных дифференциальных уравнений к реше­нию систем дифференциальных уравнений сложность решения быстро нараста­ет. Уже при решении системы из двух дифференциальных уравнений значительно усложняются рекуррентные формулы, определяющие коэффициенты в формулах Рунге—Кутта. При этом добавление каждый раз очередного уравнения увеличивает число уравнений в их векторной записи. Естественно, это увеличивает сложность решения, ведет к увеличению числа переменных в функциях, задающих коэффициенты Ki, но принципиально не меняет реализации алгоритма вычислений.

Встроенные в «Matlab» функции для решения систем дифференциальных урав­нений обходят эти трудности, поскольку не требуют составления формул для решения систем дифференциальных уравнений.

        Последние версии компьютерных математических систем оснащены встроенными функциями численного решения, как отдельных дифференциальных уравнений, так и систем ДУ.

В качестве примера рассмотрим динамическую модель электрической схемы, изображенной на рисунке 3.

Электрическое равновесие в предложенной схеме определяется системой дифференциальных уравнений

(5)

 

Решение с применением встроенных в «Matlab» функций для решения систем дифференциальных урав­нений представлено ниже.