§ 5.2. Размещения и сочетания

Пусть М – множество, состоящее из n элементов, m ≤ n. Размещением из n элементов по m или упорядоченной (n,m)-выборкой, называется любой кортеж (а_i1,a_i2,…,a_im), состоящий из m попарно различных элементов множества М. Размещение можно рассматривать как разнозначную функцию f : {1,2,...,m}→M, для которой f(j) = a_ij.

П р и м е р 5.2.1. Для множества М = {a,b,c} пары {a,b} и {b,a} являются размещениями из 3 по 2, тройка (a,c,b) – размещением из 3 по 3, а тройка (b,a,b) размещения не образует.

Число размещений из n по m обозначается через A^m_n или P(n,m). Покажем, что

(5.1)

(напомним, что 0!=1). Действительно, размещение m элементов можно представить как заполнение некоторых m позиций элементами множества М. При этом первую позицию можно заполнить n различными способами. После того как 1-я позиция заполнена, элемент для заполнения 2-й позиции можно выбрать (n-1) способами. Если продолжить этот процесс, то после заполнения позиций с 1-й по (m-1)-ю будем иметь (n-m+1) способов заполнения последней, m-й позиции. Перемножая эти числа, получаем формулу (5.1).

П р и м е р 5.2.2. Из десяти книг произвольным образом берутся и ставятся на полку одна за другой 3 книги. Имеется А₁₀³ вариантов расстановок, где

Сочетанием из n элементов по m или неупорядоченной (n,m)-выборкой, называется любое подмножество множества М, состоящее из m элементов.

П р и м е р 5.2.3. Если М= {a,b,c}, то {a,b}, {a,c}, {b,c} – все сочетания из 3 по 2.

Число сочетаний из n по m обозначается через С_n^m , (_mⁿ) или С(n,m).

Если объединить размещения из n элементов по m, состоящие из одних и тех же элементов (не учитывая порядка их расположения), в классы эквивалентности, то можно установить биекцию φ между сочетаниями и полученными классами по следующему правилу: φ({a_i1,a_i2,...,a_im }) ↔{(b₁,b₂,...,b_m)|{ b₁,b₂,...,b_m }={a_i1,a_i2,...,a_im }}. Так как из каждого сочетания С можно получить m! Размещений (упорядочивая элементы из множества С m! способами по числу перестановок множества С), то каждый класс эквивалентности содержит m! размещений и, значит, А_n^m = m! C_n^m, т.е.

Таким образом,

П р и м е р 5.2.4. Из десяти чисел четыре можно выбрать

Число С_n^m обладает следующими свойствами:

1. С_n^m = C_n^n-m ;

2. С_n^m + C_n^m+1 = С_n+1^m+1;

В силу последнего свойства числа С_n^m называют биномиальными коэффициентами.

П р и м е р 5.2.5. Из свойства 3 следует, что

§ 5.3. Размещения и сочетания с повторением

Размещением с повторением из n элементов по m или упорядоченной (n,m)-выборкой с возвращениями называется любой кортеж (а₁,…,а_m) элементов множества М, для которого |M| = n.

Поскольку в кортеж (а₁,а₂,…,а_m) на каждое место может претендовать любой из n элементов множества М, число размещений с повторениями

.

П р и м е р 5.3.1. Из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить

Определим отношение эквивалентности на множестве размещений с повторениями из n по m: (a₁,a₂,...,a_m) ~ ( b₁,b₂,...,b_m) для любого с М число элементов a_i, равных с, совпадает с числом элементов b_i, равных с.

Сочетанием с повторением из n элементов по m или неупорядоченной (n,m)-выборкой с возвращениями называется любой класс эквивалентности по отношению ~ множества размещений с повторениями из n элементов по m. Другими словами, сочетания с повторениями суть множества, которые состоят из элементов, выбранных m раз из множества М, причем один и тот же элемент допускается выбирать повторно.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m обозначается через С(n,m) и вычисляется по формуле

П р и м е р 5.3.2. Число различных бросаний двух одинаковых кубиков равно