1. Не изменится 2. Увеличится 3. Уменьшится

59. У движущейся материальной точки скорость увеличилась в 2 раза. Во сколько раз возрастет ее кинетическая энергия ?

60. Укажите формулы, в которых элементарная работа силы F найдена правильно.

\. dA = Fdtcosa; 2. dA - F¹ • df; з. dA = F • dv _; A.dA- Fds cos a.

61. Если из начального положения под действием силы тяжести материальная точка опустилась в конечное сначала по прямой, а затем по вогнутой кривой, то работа силы тяжести на конечном перемещении во втором случае...

1. Больше, чем в первом; 2. Меньше, чем в первом; 3. Такая же. Как в первом.

62. Дано определение работ четырех сил. Какие из них откосятся к потенциальным?

i.A_Vv/, = \f^^ds ; 2.A_Mo,_lt=±Gh; з.//..,„„ = ^сЛ%-%); 4. A_v/, = "'v

63. Какие формулы описывают теорему об изменении кинетической энергии материальной точки ?

d

!; dt

{ 2 ^ч\

mv

J

( 2 \ mv

V 2 j _M

ту,² _ пм\ Л ту,² _ ту² А ₂

_{з. _ 0 ^л'л/0а/, ; 4- о о ^ ' ■}

4 £ м ^ ^ 1=1

64. Какому движению тела соответствует формула для определения его кинетической энергии ?

1. Поступательное. А. /=■■---• ,

; ;Ч ■ _: ■■ ■ ■•• ' 2

2. Вращательное. В. 1 — +

■ 2 2

_ тт>_с

3. Плоскопараллельное. С. * — _ •

65. Определите работу пары сил, приложенной к вращающемуся вокруг оси Ъ телу, если под действием момента пары М₂ — 10 Нм тело повернулось вокруг оси на угол

(р — Ъ?Г (считать 71 ~ 3 ).

66. Назовите единицу измерения работы силы.

1. Вт. 2. Дж. З.Нс.

67. Укажите единицу измерения кинетической энергии.

кг ■ м

1. Дж. 2. 3. кВт.

с

68. По реке движется моторная лодка со скоростью 5 м/с, Сила тяги двигателя равна 10СО Н. Определите в кВт мощность этой силы.

69. Диск вращается под действием пары сил, момент которой относительно оси вращения Z - М_г =20 Нм. Определите мощность, которая необходима для придания диску угло­вой скорости СО = 0,4 рад/с.

70. Какие из приведённых формул описывают теорему об изменении кинетической эне)-гии механической системы ?

;=| 1=1 ,=1 ,=|

■•-I I-I ■ ,=1

; рй Г ■■ Ь . x,,. = х_я - О ;. у₀ * t[,_a О",

\/_ох = Vg-cos&'t Voy =- /g-sinuc. изобразим брикет г произвольном лоложеаик -Z/_v и укажем

.: еиств.үющиө на нэго силы:

отыестк Р_ направим вертииняьно -?нчэ, . ^;' реакцию связи Р , где . ^4: i

Р •= /V +/-₀

лорэменную силу /• направим в г олокктольном направлении

рек ¿5;•' , так как *~_х> О -

'Нетрудно видеть (см. пис. 3;, что поэтегцу уравнения ( 3.8 } приаут вид

dt* ''"

d*»

Составив ^Hqijеренцкальнке. уравне да:

( 3.8. )

( 3.9 )

Учитывая, что ь н по оси by нет движения ), получаем

dt*

n =- р.

I Но = /Л/ .значит, fp ~ .

Подставив в уравнение ( 3.9 У s ^чения сил F н fy_p ,

' По,а !получк ! :

dt*

или

j erf

После разделения переиәнных имеем:

fr?oїy - н-simol di ~ fPdt.

Проинтегрируем •

mJdV = hjsL^cotat -JfPdt.

фокчам:

_mV = „JL cos coty-^Pt-^Зf. (3.10)

Замеьив V на и разделив переменные. уравнению ( 3.10 ) придадим вид: ' "

mdx -~ -~~ їos cot dt -fPt dt ■+ dt,

Проинтегрируем

Wo^- coscotdt-WPtdt ■*• [c.dt

^j -soi ^j j ⁷ )

найдем;

x* * slncаt-falL +Jkt + C?. ( у.11 )

Для определения подставим в сравнение ( 3.10 ) началь-ные условия ( t - .0, = t&fiftSoO :

/??к^о( - J±. ces, оо-О - /Р-О + С-, .

■ Для определения начальные условия ( t _к-о, ^₀~^s - 0j подставик в уравнение ( 3.11 ):

§p;.$ї ■ .■^{-- ' ^г ■

После подстановки в уравнение ( 3.11 ) з.-ачекии С₁ и. Г, , окончательно имееа:

X г - .Л. ию tфt - її'-ї'Ь » tt?Xн/* t+^t

f/7Cщ^s ? 2 ^& miу

или

Окончательно;

. Ожкуда

реакцию связи N - пөрпөңшъ /лярн» к жадобу. Равлоким Силу А на две составляющих »«и'ор» /| и подсчитаем

_{' 1}

ч подставим ( 3.~ ) в лрьшые части уравнений:

Учитывая, что *Рл1пс(> * ^р-са&(£,. получим:

Так как брикет двигается вдоль оси с*, , то будем расаматри- : аать одно дифференциальное уравнение;

* ^ЗтГ = ^А ^ (3.4)

Заменим и урэвиеьли ( 3.4.} значение переменной силы 7? =хуиН и, учитывая, что .

запишем его тал:

/г? - • /?с< - /и И,

или "

от. _ ^ /''гдйюс \

Обозначив ^/Г/£'Л^с/?^ ₌- # , ик-ем;

^ ^^^^).

Разделим переменные проинтегрируем

и получим: _

-Ь^-У)*^ +С\ , ' (3.5 )

Подставив в (3,5 ; начальные условия = 0 и \£ --- 0 Ь на- ходим, чап 6'₇ = -&?СС- ¹

уравнение ( 3.5 ) после, подстановки в него значения С-1 принимает вид:

т

~ £

~_ _е * \

^{*/= <*(•/.- 6» у. ( з.б )}

Подставив ч ( З.б ) время ^ движения брикета от точки А 10 тощ«и В, кайдем скорость брикета в точке В:

Поде-тешив численные значения величин, входящих э ( 3.7 ),. юпучим:

1^5 ><^10 м/с.

Рассмотрим движение брикета :ш участке ВС. Выберем систему координат, как показано на рис. 3. Запишем начальные условия:

*^ї"<X -f'Co&dL)tc'.t + C_Tdj .. Проинтегрировав это выражение, получим:

X ~%_{пind - f-co^-f, C,t +C_e. _{( 2}.₅ ,

Шдетавиз в ,равне:ие ( 2.41 t = о и V = О, нчходий!

а* О,

- подставив в уравнение ( г.Ч ), ? г. О и Х₀ = О, находим

<v = ї?,'

После подстановки значений їvи в уравнение (2.5 ), окон­чательно получим уравнение движения ичдтра- тяжести нока спрео-ооввышго сена:

Что>й» найти время движения, в ура;.-нении ( 2,.6 ) надо за-ме нить X fa rs .

В результате г.зчены получим:

Откуда

вует сила сопротивление среды Я , зависящая от скорости V бряк'-зта. Трение на этом участке пренебрежимо мало. В точке В брикет, не изменяя величины своей скорости, переходят на учес-ток ВС, где на него кромэ силы тяжести действует сила трения (коэффициент трэния / = 0,4) и переменная сила Г , проекция которой £ задана. Считая брикет мат-риаяьной точкой и знак вреш ^удлшекия брикета от точки А, до дачки В, найти закон движения брикета на участке ВС, т.е. х = /(1), где X - ВС,

£ = ./ f-? _r . ( 2.7 )

П еле подстановки численных значений величин, входтщих г выра­жение ( <Ў.7 ), получим, что

£ - 2 2 с. ЗАДАЧА Л 3

Брикет биокорма -Z? массой .т , иолутв в точке Л иа-чалвную скорость V₀ , движется по изогнутому желобу ABC, рас­положенному в вертакнльной плоскости (jjhc. 3J. Угол наклона ^oн- = 30°. На учаеше АВ на брикет, кроме силы тяжести, дейст-

Рассмотрим движение брикета на участке №.

Выберем систему координат..¥> {^«совместив начало отсчета ■О1 о начальным положением А брикета & . Ось направим вниз _;вдоль желоба, ось 0,Уг перпендикулярно к <2,Х/.

Запишем* начальные условия.

0,

0;

то при

0 X

10

Тек как движение брикета Х> началось из точки А, которую ШбрйЛя" -33 НВЗДЛО ^й начальная скорость V,, равна нулю

( 3.1 }

Изобразим брикет в произвольно*/ положении D-Ў к укажем действующие m него_еилн:

сиг' тяжести Р направив ьерт5рсально вниз,

силу сопротивления Я направим протк движении брикета ,

10 м, если угол наклона плоскости к горкеой^ о< » у о" и

коэффициент трения / = ОД.

ем суммы прекций сил 1& оси координат: V р - Р - Р

Решение

Начальное положение /% центра тяжести тюка (рио. 2) при­чем за начало отсчета О , Ось ОХ направим ениз по наклонной

плоскости, а ось ОУ проведем перш здикулярко к оси ОХ .

или

X

Запишем начальные условия:

1. координаты точки /%;

1. проекции начальной скорости на оси координат. В задаче У₀ = 0, п этому при = О

*° - о, ^г. О . Кх*> о, о. Изобразим центр тяжести тюка I п^оивнсдьном положении в вице точки /V и нанесем действ,, ,ощ1 е на точку силы: силу тяжести Р , направив вертикально вниз; реакцию связг; Я , учитывая, ^! го

где /V - нормальная составляющая реакции связи, • /}р - сила трения, равная

_{Силу Р разложим на соо*ввл;йощн5 Р< и Щ , подсчита­}

и составим дид-ферэнциальные уравнения движения

точки:

(■ал )

c/t^г

то

Так как * 0 (движение только вдоль оси ОХ ), 5

ив"уравнения ( 2.2 )

Значит, //V = /Р< С^ос

; и урвенение ф-1) примет вид

/"/7

или

&У - П (£.1*?Ы ( 2.3 )

В уравнении ( 2.3 ) разделим переметив и, проинтегриро-

вав

получим.

Заменив V - ~тг > запишем;

Тогда диф£е}»**8йиьдае уравнение движений точки $Й»Й^Чиы в ви­де:

Откуда

Подставив в выражение ( 4)

или

г <*

:, уравнении < Я | сделкам замену: ч разделим Шфвмшш

7^0 = <*' ■

Проинтегрировать щш Шфйжвтв получим:

-~&(9>-кУ)^ +С,. (з )

Определим постоянную С/ по начальным условиям. Для это­го в уравнен! 5 ( 3 ) подставим значения; ^. = 0 и V-- У₀ = 0:

Откуда

Для нахождения выражения скорости I/ подставим'значе­ние С., в уравнение ( Г } к выш-лниы некоторые преобразования: разделив сэременные и проинтегрировав

/г

получим

По начальным условиям определим С_г Для этого в урав­нение ( 5 ) подсевам £ _к 0 и X = « 0: '

ⁱ

Подставив в уравнение ( 5 ) значение С_г , получим урав­нение падения зерна в конечном виде:

б )

Массивный яок спрессованного сена спускают по наклонной плоскости без начальной скорости. Определить время £ движе­ния центра чшвстА тюка после того, как он продет путь £ «=

[ЯНН

BHIJRIIpR

из начала отсчэта nposeoнH' од,:':/ иг- кОЙ5!#ЧШИ^:-г«1-*^-. .г. од-. ;*•: утл движения.точки в сторож (.••:' . :р

?.. Записать начальные уело* да; ^^^йа^й'^йедИ-.

Начальные условия определим? гамъ&як® twї'ї ii « • •.«••■-уд в начальный ssoueiix движения, т.<-. вйппге-к».: при f , *₀ x їX<Ў , y-..CJ_0!

^{Ц- = bfer , Ц,. l'V-v, vї. vc:< щт}

■■до X , ї/ , Z '•- Kуop ;иг4|"ы ТО'.£и; Уд* j Vty , V₂ - проекции скорс оягл, о. вообразить •дзаг&щуюсь ю-чяу в произвольном положений к указать асе действующие на то» ку силы, включая иреакции

точку, находящуюся под действием силы тяжести и силы с сир •■. Яитои воздуха, поопорционаяьной первой степени скорости ;; дай /? вКГпУ, где А" - постоянный коэффициент, определи заь'иН падения зерна.

Решение

Выберем начало отсчета О в начальном подожки \ Л/_с, на и направим координатную ось ОХ в сторону двяжепич (Вниз).

а/

альнои точки. .

Для этого подсчитать Су. мы проекций сил.на координат» оси !: подставить эти су-^-ы в прг ныв час т.! .ди^ ..ренциалькы; уравнений движения точки:

т-^А ... ₅-аг . ? *

з$ю-•.с...-:. _:: У F , '

При в тем шдо обязателыз все переменные -'силы выразить через те- величины ( £. , x , У ),"от которые они '.зависят.

Проинтегрировать дифферэицнельнне уравнгтия.. :^;:

6. Используя начальные условия, определить постоянны!-: интегрирования. у-ч

?. Найти искомые в зедача-'валич.-:ны.

задача, » : <;

При сортировке гороха аеруь падают на 'решете по •-.ерти.ч-акн. "•'"■.в начальной скорости. Принимая ;саа.дое зорко.ае Muн •••нальну» •..

Рис I«

Запишем начальные условия движения материальной точки (зерна). При Т •§ б х_а - 0, т.к. начадьнса положение точк-' //₀ совпадает с'*аачалом координат.

Ус -0, т.к. движение зерна начинается без начальной скорости.

• йеобраз-им зерно в произвольном положения М (рис.- I) и нанесем векторы сил,,действующих на него: силу тяжегтя Р направим вняв;

силу .сопротивления % неправим вверх (против движсьиг',. Подсчитаем сумму проб^цнй сил на ось X :

■ • , ■ ' ^^гнх - ^ ^п > а 'затем, подс'авиз в правую «тасть уравнения

11 ш%

-• < п*_х ,

•получим дифференц;«8льоо& уравнение движения то?чк:

Пренде тзи решить урвш^:н©ни'в ( 1 )'.,. подстав к;-- в него

R * ит У.