10.4 Средние индексы

В отличие от агрегатной формы индекса, средние индексы используются тогда, когда имеется информация об изменении индексируемой величины по отдельным единицам исследуемой совокупности (т. е. известны индивидуальные индексы).

Средний индекс - это сводный индекс, вычисленный как средневзвешенная величина из значений индивидуальных индексов.

Средний индекс получают путем преобразования агрегатного индекса. В зависимости от того, какие веса используются в соответствующей агрегатной формуле (базисного или отчетного периода), средний индекс рассчитывается по формуле средней арифметической или средней гармонической величины. Соответственно, исчисленные по одним и тем же данным агрегатный и средний индексы всегда равны.

Рассмотрим, например, как получается средний индекс физического объема товарооборота. Его агрегатная формула имеет вид

Тогда, учитывая, что индивидуальный индекс представляет собой отношение получим [q₁ = i_q × q₀] Подставим это выражение в формулу агрегатного индекса

Получен индекс физического объема товарооборота в виде средней арифметической взвешенной из индивидуальных индексов, в которой в качестве весов используется товарооборот базисного периода (q₀ p₀).

Итак, формула среднего арифметического индекса физического объема имеет вид

Обратимся теперь к индексу цен. Его агрегатная формула имеет вид

^{Из формулы индивидуального индекса цен выразим и, подставив в формулу агрегатного индекса, получим}

Получен средний гармонический индекс цен

Пример 10.5 – По данным таблицы из примера 10.2 рассчитаем средние индексы. Для этого необходимо определить индивидуальные индексы и объем товарооборота по каждому виду молочной продукции (расчеты проведены в таблице 10.3).

Исчислим средний гармонический индекс цен.

Таблица 10.3 – Расчетная таблица

Наименование товара	Индивидуальные индексы цен	Индивидуальные индексы физического объема	Товарооборот, р.
			базисный период,	отчетный период,
А
Б
В

Средний арифметический индекс физического объема товарооборота равен

10.5 Анализ динамики среднего уровня показателя

На формирование среднего уровня качественного показателя оказывают влияние два фактора: во-первых, изменение индивидуальных значений самой индексируемой величины в отчетном периоде по сравнению с базисным, и, во-вторых, изменение структуры исследуемой совокупности (уменьшение или увеличение доли единиц с более низким или более высоким уровнем этого показателя). Например, на динамику средней цены влияют изменения индивидуальных уровней цен и различия в структуре продаж отчетного периода по сравнению с базисным; на формирование среднего уровня фондоотдачи - изменения фондоотдачи отдельных видов основных фондов и доли основных фондов с более высоким (низким) уровнем фондоотдачи в общей их совокупности (структурный фактор).

Относительное изменение среднего уровня качественного показателя характеризуется с помощью системы индексов переменного, постоянного состава и индекса структурных сдвигов, позволяющих оценить влияние каждого фактора на его динамику.

Покажем общую схему построения системы индексов, характеризующих динамику среднего уровня качественного показателя. Индекс переменного состава отражает изменение среднего уровня качественного показателя за счет двух факторов. Пусть х - индексируемая величина, f - вес индекса. В общем виде этот индекс рассчитывается как отношение среднего уровня показателя в отчетном периоде к среднему уровню показателя в базисном периоде. Индекс переменного состава для любых качественных показателей может быть записан следующим образом:

Индекс постоянного (фиксированного) состава показывает, как в среднем изменилось значение качественного показателя у единиц совокупности при одинаковой фиксированной ее структуре. В общем виде его можно записать следующим образом:

Формула индекса влияния структурных сдвигов, представляющего собой отношение средних величин рассматриваемого качественного показателя, рассчитанных при структуре совокупности отчетного и базисного периодов при базисном уровне качественного показателя, выглядит следующим образом:

Поскольку индекс переменного состава показывает изменение исследуемого явления за счет всех факторов, то между индексами существует следующая взаимосвязь:

I_{пер.сост}. = I_{пост.сост}. × I_стр.сд..

Так, при изучении изменения средней цены товара (например, продаваемого в разных регионах) индекс переменного состава можно записать следующим образом:

^{Подставляя вместо выражения для расчета средних уровней цен товара отчетного и базисного периодов, получим его развернутую формулу}

На его величину оказывают влияние два фактора: изменение цены товара в каждом регионе и структуры продаж. Абсолютное изменение среднего уровня цены товара за счет двух факторов покажет разность между числителем и знаменателем рассматриваемого индекса:

Индекс цен постоянного (фиксированного) состава показывает изменение средней цены товара только за счет изменений цен в каждом регионе. Индекс цен постоянного состава имеет вид

Абсолютное изменение среднего уровня цены за счет изменения индексируемой величины покажет разность между числителем и знаменателем данного индекса

Индекс структурных сдвигов позволяет оценить влияние на формирование среднего уровня цены изменений в структуре продаж товара:

Абсолютное изменение среднего уровня качественного показателя (в данном случае средней цены) за счет структурных сдвигов

Пример 10.6 – В таблице 10.4 приведены цены и объемы продаж товара «А» в трех регионах.

Таблица 10.4 – Динамика цен и объема продаж товара «А» в трех регионах.

Регион	Цена товара "А", р. за кг		Объем продаж товара "А", тыс. кг
	базисный период,	отчетный период,	базисный период,	отчетный период,
I	61	69	550,0	520,7
II	58	65	420,4	380,5
III	53	57	711,8	603,4

Индекс цен переменного состава равен

Общее измерение средней цены в абсолютном выражении

За счет действия двух факторов средняя цена увеличилась на 11,1 %, или на 6,31 р.

Для определения влияния первого фактора (цен в каждом регионе) на динамику средней цены исчислим индекс цен постоянного состава:

Тогда влияние первого фактора в абсолютном выражении можно определить как

Таким образом, в результате изменения цен товара «А» в отдельных регионах его средняя цена увеличилась на 10,8 %, или на 6,15 р.

Влияние на анализируемый показатель структурных изменений в структуре продаж товара «А» покажет индекс структурных сдвигов

В абсолютном выражении

В результате изменения структуры продаж товаров по регионам средняя цена возросла на 0,3 %, или 16 копеек.

Проверим взаимосвязь индексов и абсолютных приростов: