2.3. Метод симплекс-таблиць

Даний метод базується на табличних перетвореннях Джордана-Гауса моделі, поданої в канонічному вигляді. Метод симплекс-таблиць або метод переміщення по кутах (по симплексах) має в основі ітераційний розрахунок з максимально можливою кількістю ітерацій:

_,

де C – максимально можлива кількість ітерацій (умова перевірки на зацикленість);

n – кількість рівнянь;

m – кількість змінних у канонічному вигляді.

Симплекс-метод базується на постійних перетвореннях таблиці:

	Cx	Bx	A0	A1	…	Am
1
2
3
…
n
		Δ	0	1	…	m

Розглянемо приклад.

Фірма рекламує продукцію на радіо та телебаченні з обмеженням витрат на рекламу – 1500$ на тиждень. Хвилина реклами на радіо коштує 5$, на телебаченні – 100$. Фірма хоче використовувати радіо в два і більше разів частіше, ніж телебачення. Досвід минулих років показав, що обсяг збуту, забезпечений хвилиною реклами на телебаченні, в 25 разів вищий, ніж хвилиною на радіо. Визначити розподіл коштів на рекламу.

х₁ – пошукові хвилини реклами на радіо, х₂ – на телебаченні.

		2*5 (розмірність)
		1	25	0	0	-250
		5	100	1	0	0	1500
		1	-2	0	-1	1	0

1-а ітерація:

			1	25	0	0	- Cимплекс різниця Δj: 250
Cx	Bx	A0	A1	A2	A3	A4	A5
0	x3	1500	5	100	1	0	0
-250	x5	0	1	-2	0	-1	1
	Δ	0	-251	475	0	250	0

Кожна ітерація полягає в заміні (перерахунку) базисної змінної.

1. Визначення спрямовуючого стовпчика j*

Якщо Δ_j відсутнє, то розв’язок знайдено: базисні змінні дорівнюють А₀, а небазисні – 0.

2. Визначення спрямовуючого рядка i*

Якщо i* відсутнє, тобто в стовпчику знаходиться значення не більше 0, то розв’язок відсутній (ОДР не обмежена зверху), інакше фіксуємо спрямовуючий елемент: (21) = 1.

3. Перерахунок таблиці (власне заміна базисних змінних):

 ділення значень спрямовуючого рядка на спрямовуючий елемент:

 обнулення значень спрямовуючого стовпця, крім спрямовуючого елемента:

 перерахунок решти значень за формулою прямокутників:

4. Перевірка ітерації:

 цільова функція має не зменшуватися;

 номер ітерації має не перевищувати їхню максимальну кількість:

;

 базисні змінні мають мати одиничний вектор;

 розрахунок Δ_j має співпадати як за формулою спрямовуючого стовпчика, так і за формулою «прямокутника».

2-а ітерація:

			1	25	0	0	-250
Cx	Bx	A0	A1	A2	A3	A4	A5
0	x3	1500	0	110	1	5	-5
1	x1	0	1	-2	0	-1	1
	Δ	0	0	-27	0	-1	251

3-а ітерація:

			1	25	0	0	-250
Cx	Bx	A0	A1	A2	A3	A4	A5
25	x2	13.64	0	1	0.009	0.045	-0.009
1	x1	27.27	1	0	0.018	-0.9	0.909
	Δ	368.2	0	0	0.245	0.227	249.8

Розв’язок знайдено, тому що всі Δ  0. Після розрахунку потрібно виконати наступну перевірку:

• чи всі M-змінні дорівнюють 0: якщо ні, то розв’язок відсутній або ж вибрано занадто малий коефіцієнт m;

• значення Z має дорівнювати значенню ∑C_iX_i.

Для програмування методу мовою Pascal потрібна така пам’ять:

C: array 1..M of real; A: array 1..N, 0..M of real;

D: array 0..M of real; B: array 1..N of byte,

де С – файл коефіцієнтів цільової функції;

А – файл коефіцієнтів обмежень лівої і правої частин;

D – файл значень симплекс різниці;

B – файл номерів базисних змінних.

Програмування СМ виконується на базі наведеного алгоритму, який має циклічний обчислювальний процес «while», доки значення файла D не стане позитивним. Алгоритм має процедури розрахунку в симплекс-таблиці спрямовуючого елемента, перерахунку значень симплекс-таблиці та друку потрібних ітерацій для контролю на екран.