Контрольні запитання

1. Яка загальна мета науки про дослідження операцій? Які є складові частини математичної моделі?

2. Чому нашою мовою наука називається «Дослідження операцій» та як вона іменується в літературі англійською та російською мовами?

3. Чому дисципліна ДО є однією з основних дисциплін інформаційних технологій управління? Які етапи ДО не є обов’язковими?

4. Чи може бути єдиний для всіх користувачів класифікатор типових задач та моделей? Чи можна вивчити ДО без досвіду їх складання?

5. Чи може оволодіти ДО фахівець некомп’ютерних наук?

6. Чому окремі групи методів називаються лінійним програмуванням, нелінійним програмуванням, динамічним програмуванням тощо?

7. Як лінійне програмування називається в зарубіжній літературі?

8. Сформулюйте 2-3 задачі лінійного програмування, які могли би бути корисними у вашому побуті та родині.

9. Як можна систематизувати типові задачі та методи для подальшого їхнього використання? Чи обов’язково треба вміти програмувати алгоритми методів дослідження операцій?

10. У чому суть та назвіть приклади типової задачі про сортимент?

11. Назвіть область матпрограмування, де розв’язуються задачі пошуку змінних, залежних від інших змінних. Наведіть практичні приклади.

12. Чи є задача складання графіку руху тролейбусів транспортною?

13. Якою задачею дослідження операцій є задача розподілу випускників університету за організаціями відповідно до замовлень?

14. Якою задачею є задача розрахунку плану виробництва згідно з попитом на продукцію?

15. Яка група методів ДО найчастіше використовується в ІТ управління?

2. Лінійне програмування

Розглянуто лінійне програмування (ЛП) – важливу область математичного програмування, що розв’язує задачі, подані лінійними моделями, тобто, ті, які мають лінійну цільову функцію (ЦФ) та лінійну область допустимих рішень (ОДР). Математична модель ЛП у загальному вигляді така:

.

Розглянемо приклад розв’язання задачі лінійного програмування:

Зведемо матмодель до канонічного вигляду для використання сим-плекс-методу та ком-п’ютерної програми Simpl.exe (див. 2.2):

До основних методів лінійного програмування належать графічний (графоаналітичний) метод, симплекс та двоїстий симплекс-метод, метод потенціалів, угорський метод транспортної задачі та задачі призначення. Область, яка описується обмеженнями в моделі ЛП, завжди є випуклою.

2.1. Графічний метод розв’язання задач лінійного програмування

Д

x₁

ля випадку, коли модель має лише дві пошукові змінні, може бути використано графічний (графоаналітичний) метод. Розглянемо варіанти

x₂

z

Множина розв’язків на прямій || до z

Примітка. ОДР для ЛП завжди випукла, вогнутостей у ній не може бути.

2.2. Алгоритм зведення до канонічного вигляду задач лінійного програмування

Канонічний вигляд моделі – це вигляд, який потрібний для обробки математичної моделі методом чи програмою на комп’ютері. Для кожного методу існують свої вимоги до канонічного вигляду. Розглянемо вимоги зведення до канонічного вигляду для симплекс-методу:

1. Прямування цільової функції до максимуму: Z(f)  max.

2. Наявність типу «рівність» для всіх обмежень.

3. Наявність одиничного позитивного базису.

4. Позитивність правої частини всіх обмежень.

5. Позитивність пошукових змінних.

6. Наявність додатного опорного розв’язку.

Базисна змінна – це змінна, яку потрібно додати в обмеження для отримання рівності та одиничного вектора.

Штучна змінна(M-змінна) – це змінна, яку потрібно дописати в обмеження (а якщо треба, то і в цільову функцію з коефіцієнтом М з протилежним знаком) як базисну. У цьому випадку ми штучну змінну називаємо М-змінною, яка після розрахунку має дорівнювати нулю.

Для зведення моделі до канонічного вигляду для сиплекс-методу необхідні такі дії та умови.

1. Аналіз умови невід’ємності для всіх пошукових змінних. Якщо не для всіх змінних задана ця умова, то кожну з них замінюють на різницю двох позитивних змінних.

2. Права частина має бути обов’язково позитивною. Якщо в обмежені права частина від’ємна, то треба помножити її на -1 для зміни знаку.

3. Якщо Z(f)  min, то змінюють коефіцієнти на протилежні: Z(f)  max.

4. Додавання однієї базисної змінної для кожної нерівності типу «».

5. Якщо є обмеження типу «=», то додавання однієї М-змінної, де М – це великий коефіцієнт ЦФ.

6. Якщо є обмеження типу «», « 0», то додавання різниці 2-ох додатних змінних, одна з яких М-змінна.

Розглянемо приклади приведення до канонічного виду та файлу початкових даних для розв’язання задачі ЛП за допомогою програми Simpl.exe. Виклик програми для розрахунку виконується за допомогою запису <Simpl file_in file_out>, де file_in та file_out – файл з початковими даними та файл з ітераціями розрахунку відповідно:

		2*4 (розмірність)
		-3	-2	0	0
		6	-1	1	0	5
		7	1	0	1	7

Відповідь: x = (0, 0, 5, 7).

		2*5 (розмірність)
		-3	-2	0	0	0
		6	-1	1	0	0	5
		7	1	0	-1	1	7

Відповідь: x = (0, 0, 5, 0, 7).

		2*5 (розмірність)
		3	2	0	-30	-30
		-6	1	-1	1	0	5
		7	1	0	0	1	7

Відповідь: x = (0, 0, 0, 5, 7).

		2*5 (розмірність)
		-7	-2	2	0	-20
		6	-1	1	1	0	5
		-7	-1	1	0	1	7

Введемо заміну = - . Заміст М, введемо коефіцієнт, який в 10 раз більший від коефіцієнта цільової функції, тобто дорівнює 20.

Відповідь: = (0, 0, 0, 5, 7).