7.2. Правило множників Лагранжа

Правило множників Лагранжа використовується для знаходження оптимуму в задачах НП тоді, коли обмеження мають вигляд:

;

.

Ідея правила множників Лагранжа така.

1. Згорнути всі цільові функції та обмеження в одну функцію, ввівши нові змінні λ_i, і записати отриману функцію Лагранжа:

.

2. Отримати результати значень x_i та λ_i шляхом безумовної оптимізації (безумовну оптимізацію описано в п. 7.1).

Розглянемо приклад:

Введемо нові змінні λ_i для кожного обмеження:

Продиференціюємо одержану функцію за кожною змінною:

Ця задача розв’язується доволі трудомістким аналітичним способом. Сам же результат: (x, y, z, λ₁, λ₂) = (0.804, 0.3477, 0.2855, -0.0869, -0.3043). Визначення знака екстремуму (min чи max) можливе двома варіантами.

1. Обравши довільну точку округи, наприклад, f₀(0.804, 0.3477, 0.2855), визначаємо знак екстремуму залежно від того, що більше: f >f₀.

2. Формуємо матрицю (Гессе), розмірність якої дорівнює кількості змінних і обчислюємо визначник, від якого залежить знак екстремуму:

Δ =		x	y	z	λ1	λ2	= 640
		2	0	0	1	5
		0	2	0	1	2
		0	0	2	3	1
		1	1	3	0	0
		5	2	1	0	0

Відповідь: (x, y, z, λ₁, λ₂) = (0.804, 0.3477, 0.2855, -0.0869, -0.3043), f(x, y, z) = 0.848, extrmin.

7.3. Узагальнене правило Лагранжа

Узагальнене правило Лагранжа використовують для знаходження оптимуму в задачах НП тоді, коли обмеження мають вигляд:

.

Ідея узагальненого правила Лагранжа полягає в тому, що функція Лагранжа будується поступово, причому результатом кожної ітерації є рішення, яке необхідно підставити в інші обмеження. Якщо це рішення задовольняє обмеженням, то оптимальний розв’язок знайдений, якщо ні, то у функцію Лагранжа додається одне з обмежень.

Розглянемо приклад:

1-а ітерація: будуємо функцію Лагранжа на основі ЦФ й обмежень типу рівності і розв’язуємо задачу безумовної оптимізації:

Після розв’язку підставляємо отримані x, y та z в ті обмеження, що залишилися. Якщо вони відповідають обмеженням, то розв’язок задачі знайдено. Інакше:

2-а ітерація: знов будуємо функцію Лагранжа з урахуванням того обмеження, що не задовольняє попереднє рішення, і проводимо умовну оптимізацію:

.

Таким чином, генерується і розв’язується система з п’яти рівнянь, доки не будуть розглянуті всі обмеження.

Примітка. Якщо на етапі розв’язання системи рівнянь розв’язок відсутній, то метод множників Лагранжа теж не дасть розв’язку. Тоді можливі два висновки:

_{ розв’язок дійсно відсутній, тому що область припустимих рішень не обмежена зверху чи знизу або цільова функція не відповідає знаку;}

_{ розв’язок є, але його не можна знайти, використовуючи даний метод.}