Контрольні запитання

1. Які питання розглядає потокове програмування? Що таке мережа або граф? Які є типи дуг та в чому полягає їх різниця?

2. Яким чином класифікуються мережі за типами дуг? Які реальні дані можливо описати за допомогою кожного з цих типів?

3. Які існують частини мереж? У чому суть закону Кірхгофа та теореми про мінімальний розріз?

4. Які існують способи представлення мереж? Які переваги та недоліки кожного з них для комп’ютерної реалізації?

5. Які існують типові задачі оптимізації на мережах? Якими методами (алгоритмами) розв’язується кожна з них?

6. У чому полягає відмінність задачі визначення найкоротшого шляху для орієнтованих та біорієнтованих мереж? Яка суть методів Дейкстра 1 та Дейкстра 2?

2. Яка відмінність між однополюсними та багатополюсними мережами? Як алгоритм Флойда будує карту відстаней та маршрутів?

3. Який обсяг пам’яті треба виділити для програмної реалізації методів Дейкстра 1, Дейкстра 2 та Флойда мовами Pascal та C++?

4. Де практично може бути застосована задача про мінімальний остів? У чому її суть та зв’язок з цілочисловим програмуванням?

5. Яка суть задач про максимальний потік для одно- та багатополюсних мереж? Якими методами вони розв’язуються?

6. Яка схема побудови ланцюжка в алгоритмі Дейкстра 4? Скільки треба виділити пам’яті комп’ютера для реалізації цього методу?

7. Яким чином теорема про мінімальний розріз може застосовуватися для визначення максимального потоку? Що таке розріз, мінімальний розріз та пропускна спроможність розрізу?

8. Як можна застосувати алгоритм Дейкстра 4 для визначення витоку та стоку в мережі? Чи є таке застосування економним щодо часу?

9. Яким чином мережа конденсується за методом Гоморі-Ху? Чи завжди цей метод дає адекватний результат? Чи можливо запрограмувати цей метод?

10. Які існують промислові приклади розв’язання кожної із задач? В яких відомих програмних продуктах зазначені алгоритми реалізовані?

7. Розв’язання задач нелінійного програмування

7.1. Загальні визначення нелінійного програмування

Нелінійне програмування (НП) – це розділ дослідження операцій, що розглядає матмоделі, де використовуються нелінійні залежності в функції мети або в системі обмежень:

…

,

де – нелінійні, .

Показник	Лінійне програмування (ЛП)	Нелінійне програмування
Область припустимих рішень	лінійна, завжди випукла	нелінійна, випукла або вогнута
Цільова функція	лінійна	нелінійна
Число крайніх точок	скінченне	скінченне або нескінченне

Примітка Множина точок R області припустимих рішень є випуклою, якщо будь-яка пара її точок з відрізком між ними належать до даної множини R. В іншому випадку множина є вогнутою.

До основних теорем нелінійного програмування відносяться:

1. Теорема існування екстремуму: якщо функція F є неперервною на множині R (просторі), то вона хоча б раз сягає значення екстремуму мінімуму чи максимуму.

2. Теорема розташування екстремуму: якщо функція F є функцією декількох змінних (x₁, x₂,…x_n), то екстремум досягається в одній або декількох точках:

• у множині стаціонарних точок, визначених генеруванням системи алгебраїчних рівнянь (диференціювання за x₁, x₂,…x_n) з наступним її розв’язком. Результат – вектор x = (x₁, x₂,…x_n):

;

• у множині точок границь в обмеженні, визначених вирішенням системи рівнянь, що включає цільову функцію і власне обмеження:

.

Примітка. Для перевірки існування максимуму чи мінімуму для кожної точки необхідно взяти будь-яку іншу точку та перевірити чи більша вона від знайденої. Якщо більша, то рішення невірне, а точка має значення мінімуму:

.

Класичний метод визначення безумовного екстремуму (не задані обмеження) полягає у виявленні лише стаціонарних точок та має такі етапи.

1. Розрахунок множини стаціонарних точок S₁(x), яка визначається на основі часткового диференціювання за x₁, x₂,…x_n, і розв’язок системи алгебраїчних рівнянь.

2. Підстановка кожної стаціонарної точки в обмеження g_i для взяття її як умовного екстремуму або відсікання з таких причин:

• не задовільняє одному з обмежень g_i;

• не задовольняє знаку екстремуму extr;

• є гіршою, ніж інші екстремуми.

2. Дослідження межі функції F з кожним обмеженням g_i і аналогічне формування S₂(x). Дослідження кожної точки S_i(x) і порівняння її з екстремумом при S₁(x). Результатом буде абсолютний екстремум.

Розглянемо приклад:

Розмірність задачі – 2

Відповідь: x = (4, 6); f = 4001.6.