3.2. Задача про призначення
Загальна матмодель задачі вибору або призначення має вигляд:
Алгоритм угорського методу задачі призначення має такі етапи.
Зведення задачі до канонічного вигляду, тобто вона має бути закритою – матриця С має бути квадратною типу М*M (за рахунок додавання нульового фіктивного рядка або стовпчика).
Визначення істотних нулів (єдиних нулів у рядках та стовпчиках), при цьому в стовпчику з нулем ставиться позначка «+»):
перерахунок за стовпчиками: віднімання від max елемента;
перерахунок по рядках: віднімання min елемента.
Рішення знайдено при кількості позначок «+», рівній М – розмірності задачі. Якщо рішення не знайдено, то перехід до пункту 4.
Перевірка на зацикленість, тобто номер ітерації має не перевищувати розмірність задачі М.
Побудова множини (дерева) ланцюжків типу 0′0*…0′, де 0* – істотний нуль, а 0′ – виділений нуль в рядку з 0*. Побудова ланцюжка здійснюється від 0′ у невиділеному стовпчику до 0* у рядку, потім прямуємо до 0′ у стовпчику і т.д., закінчуючи 0′. Будуючи ланцюжок, необхідно відмічати рядки «+» та знімати позначення стовпчиків. Якщо хоч один ланцюжок побудовано, то замінюємо 0′0* та переходимо до пункту 3, якщо жодного не побудовано – до пункту 6.
Генерація нових нулів на основі одного з непобудованих ланцюжків 0′…0* включає:
визначення h 0 у матриці С серед невиділених елементів;
віднімання h від невиділених рядків та додавання h до виділених стовпчиків серед значень матриці С;
перехід до пункту 3.
Загальна схема алгоритму програми угорського методу розглянута на рисунку нижче.
Примітка. Типова помилка при програмуванні угорського методу – це розгляд згідно з літературою лише одного варіанта ланцюжка.
Розглянемо приклад.
Між чотирма кар’єрами треба розподілити п’ять екскаваторів таким чином, щоб їх виробітка була максимальною. Виробітки подані в таблиці, де стовпчики – кар’єри, а рядки – екскаватори.
3 |
5 |
5 |
1 |
Зробимо задачу закритою, тобто додамо фіктивний стовпчик: |
3 |
5 |
5 |
1 |
0 |
5 |
4 |
3 |
5 |
5 |
4 |
3 |
5 |
0 |
|
7 |
8 |
6 |
2 |
7 |
8 |
6 |
2 |
0 |
|
4 |
3 |
5 |
4 |
4 |
3 |
5 |
4 |
0 |
|
5 |
3 |
5 |
1 |
5 |
3 |
5 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
+ |
За стовпчиками віднімаємо всі значення від max елемента: |
4 |
3 |
1 |
4 |
0 |
За рядками віднімаємо min елемент від усіх значень та формуємо істотні нулі: |
4 |
3 |
1 |
4 |
0* |
2 |
4 |
3 |
0 |
0 |
2 |
4 |
3 |
0* |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0* |
0 |
0 |
3 |
0 |
||
3 |
5 |
1 |
1 |
0 |
3 |
5 |
1 |
1 |
0 |
||
2 |
5 |
1 |
4 |
0 |
2 |
5 |
1 |
4 |
0 |
1-а ітерація: |
|
|
|
+ |
+ |
|
2-а ітерація: |
|
|
+ |
+ |
+ |
|
Формуємо ланцюжок: |
4 |
3 |
1 |
4 |
0* |
|
Ланцюжок не знайдено, тому серед невиділених елементів знаходимо h=1 (див. вище) та знову формуємо ланцюжок: |
3 |
2 |
0 |
4 |
0* |
|
2 |
4 |
3 |
0* |
0 |
|
1 |
3 |
2 |
0* |
0 |
|
||
0* |
0′ |
0 |
3 |
0 |
+ |
0* |
0′ |
0 |
4 |
1 |
+ |
||
3 |
5 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
4 |
0* |
1 |
0 |
|
||
2 |
5 |
1 |
4 |
0 |
|
1 |
4 |
0 |
4 |
0 |
|
3-а ітерація: |
|
|
+ |
+ |
+ |
|
2-а ітерація: |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
Ланцюжок знову не знайдено, тому генеруємо нові 0 (теж h=1): |
2 |
1 |
0 |
4 |
0* |
|
Ланцюжок побудовано. Нулі 0′ замінюємо на 0*, а 0* – на 0′: |
2 |
1 |
0 |
4 |
0* |
0 |
2 |
2 |
0* |
0 |
|
0 |
2 |
2 |
0* |
0 |
||
↓0* |
0′ |
1 |
5 |
2 |
+ |
0 |
0* |
1 |
5 |
2 |
||
1 |
3 |
0* |
1 |
0 |
|
1 |
3 |
0* |
1 |
0 |
||
0′ |
3 |
0 |
4 |
0 |
+ |
0* |
3 |
0 |
4 |
0 |
Примітка. Розв’язання задачі призначення виконується за допомогою програми Vengr1.exe. Виклик командного рядка: <vengr1 file_in file_out>, де file_in та file_out – файли з початковими даними та ітераціями розрахунку.
Відповідь: 1 екс. – не працює, 2-ий – на 4-му кар’єрі, 3-ій – на 2-му, 4-ий – на 3-му та 5-ий – на 1-ому з загальною виробіткою 23.