32. Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии n испытаний по формуле Бернулли.
По
формуле
Бернулли, событие «произошло
0 успехов в
испытаниях»
имеет вероятность
,
1 успех — вероятность
и
т.д. Какое же число успехов наиболее
вероятно? Иначе говоря, при каком
достигается
максимум
?
Чтобы
выяснить это, сравним отношение
и
с
единицей.
Видим, что
(a)
при
,
то есть при
;
(b)
при
,
то есть при
;
(c)
при
,
что возможно лишь если
—
целое число.
Рассмотрим
два случая:
и
.
В
первом случае пусть
.
Из полученных выше неравенств сразу
следует, что
Во
втором случае пусть
(целая
часть числа
,
то есть наибольшее целое число, не
превосходящее
).
Из неравенств (a),(b) следует, что
Действительно,
неравенство
,
например, следует из (b), примененного
для
.
Видим,
что в зависимости от того, является
число
целым
или нет, имеется либо два равновероятных
«наиболее вероятных» числа успехов
и
,
либо одно «наиболее вероятное» число
успехов
.
Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.
Теорема 11.
В
испытаниях
схемы Бернулли с вероятностью успеха
наиболее
вероятным числом успехов является
a) единственное число , если число не целое;
б) два числа и , если число целое.
33.
Пусть
-
вероятность k
успехов в
серии n
независимых испытаний с вероятностью
успеха p
в каждом испытании. При каком k
вероятность
достигает максимума? Совпадает ли это
число с математическим ожиданием
количества успехов? Чему равна сумма
?
Рассмотрим
два соседних числа
и
.
Между ними
имеет место одно из соотношений:
(меньше,
равно или больше) или, что эквивалентно,
.
Подставляя вместо числителя и знаменателя
их выражения по формулам
,
или учитывая,
что
, получим соотношения
или
.
Собирая все слагаемые с множителем k
и учитывая
, что p+q=1
, получим
эквивалентные соотношения
.
Обозначим число np+p
через
.
Тогда перепишется :
.
Таким
образом, для всех значений k
меньших чем
справедливо
неравенство
,
для
(
это возможно только в том случае, когда
- целое число) имеет место равенство
,
наконец, при
выполняется
неравенство
.
Тем самым
при значениях
функция
возрастает,
а при значениях
убывает. Следовательно, если число
не является целым, то функция имеет
единственный максимум; он достигается
при ближайшем к
слева целом значении k
, т.е. при
таком целом
, которое
заключено между
-1
и
:
np-q< <np+p, =[np+p].
Если
же
- целое число, то два равных между собой
максимума достигается при
и
.
Если
число
не
является целым, то наиболее вероятное
число успехов равно ближайшему к
слева целому числу. В случае когда
есть целое число, наиболее вероятное
число успехов имеет два значения:
-1
и
34. Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте.
По схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов: k=np+p.
Мат. ожидания: так как схему Бернулли можно представить как биноминальное распределение M(x)=np
np+p-np=p Следовательно, в схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов может отличаться от мат. ожидания на число р - вероятность успеха и известно, что p+q=1, p=1-q p<1. А значит отличаться на 2 не может.
35. Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса ϕ (x) и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона?
Если число опытов достаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления события А в каждом опыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна
