15. Какие события называются независимыми? Докажите, что если события
A и B независимы, то независимы события A и неB
Если выполняется равенство РB(А)=Р(А) то события А и В независимы. Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий.
А=АВ+АнеВ Р(А)= Р(АВ)+Р(АнеВ), или Р(А)=Р(АВ)+Р(А)Р(В). Отсюда Р(АВ)=Р(А)1-Р(В), или Р(АВ)=Р(А)неР(В) Аналогично в ином случае.
16. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий
A и В? Для любых А и В? Запишите правило умножения вероятностей для
трех (зависимых) событий A,B и C. Приведите примеры применения соответствующих формул.
Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий( тк для независ событий РB(А)=Р(А)). Вероятность произведения равна произведению вероятностей. Для двух любых событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=РB(А)Р(В). Для трех любых событий: Р(АВС)=Р(А)РА(В)РАВ(С).
Пример: 1)колода карт А- вытянем туза, В – вытянутая карта черной масти. Р(А)=4/36 Р(В)=18/36 всего в колоде два черных туза Р(АВ)=2/36, Р(АВ)=Р(А)*Р(В)
2) В- выпало четное, А-выпала двойка Р(В)=1/2 РB(А)=1/3, Р(АВ)=РB(А)Р(В)
Вероятность выпадения двойки 1/6.
17. Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите при-
мер: пусть в опыте с бросанием двух монет события A, В, С означают: А – на первой монете выпал герб; B – на второй монете выпал герб; C – обе монеты
упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события? Почему?
События А1, А2….Аn являются независимыми если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.
Р(АВ)=Р(А)*Р(В); Р(АС)=Р(А)*Р(С); Р(СВ)=Р(С)*Р(В) в системе
Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)
Все три события не будут независимы так как при событие С зависит от А и В:
Если А и В произошли то Р(С)=1, если А и В не произошли Р(С)=1, а если А произошло а В нет и наоборот Р(С)=0.Поэтому справедливо Р(АВС)=Р(А)РА(В)РАВ(С)= 1/2*1/2*1=1/4
а не Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)
18. Как соотносятся понятия независимые события а и в и несовместные события а и в? Следует ли из независимости событий а,в,с независимость событий ав и ? Почему?
Если
события независимы, то вероятность их
осуществления не меняется при наступлении
любого количества из них. Если же события
несовместны, то наступление одного из
них исключает наступление второго. В
данном примере надо найти что АВ
и
независимы, то
есть
.
АB=AB* =AB(C+ )=ABC+AB Из независимости:
P(AB)=P(ABC)+P(AB )=P(AB)P(C)+P(AB )
Р(АВ )=Р(АВ)-Р(АВ)Р(С)=Р(АВ)(1-Р(С))=Р(АВ)*Р( )
19. События А и В независимы, события А и С также независимы. При этом события В и С несовместны. Следует ли из этого, что события А и В+С независимы? Ответ необходимо обосновать.
В и С несовместны, т.е. Р(ВС)=0, т.к. В*С=
Р(А*(В+С))=Р(А)*Р(В+С)-?
+
Р(АВ)+Р(АС)=Р(А)*Р(В)+Р(А)*Р(С)=Р(А)*(Р(В)+Р(С))=Р(А)*Р(В+С)( из несовместности) .ч.т.д.
20.События
А
и
независимы,
события А
и
также независимы. При этом события В
и С
несовместны. Следует ли из этого, что
события А
и В+С
независимы? Ответ необходимо обосновать.
В и С несовместны, т.е. Р(ВС)=0, т.к. В*С=
Р(А*(В+С))=Р(А)*Р(В+С) - ?
из того, что А и незав А и В независимы по теореме.
из того, что А и незав А и С незав
Р(А)=Р(А +АВ)=Р(А )+Р(АВ-т.к. незав)=Р(А)*Р( )+Р(АВ)
Р(АВ)=Р(А)-Р(А) Р( )=Р(А)*Р(В), ч.т.д
Р(А(В+С)=Р(АВ+АС)=(А и С несовм)=Р(АВ)+Р(АС)=(А и В –независ, А и С-независ)= Р(А)*Р(В)+Р(А)*(Р(С))=Р(А)*(Р(В)+Р(С))=(В и С-несовм)=Р(А)*(Р(В+С)), ч.т.д.
21.Как определяется независимость событий А1,А2,……,Аn , в случае если n>2? Является ли равенство Р(А1А2А3)=Р(А1)*Р(А2)*Р(А3) достаточным для независимости событий А1,А2,А3? Ответ обоснуйте
События А1,А2,……,Аn называются независимыми в сов-ти, если для любого подмножества номеро/индексов:
k≤n,
выполняется:
Р(Аi1Ai2…Aik) =Р(Аi1)…Р(Aik), либо вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.
Для независимости 3-х событий необходимо выполнить след. равенства.
Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Р(АС)=Р(А)Р(С)
Р(ВС)=Р(В)Р(С)
Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)
Является достаточным, т.к. из равенства следует что P(Ai1,…,Aik)=P(Ai1)*P(Ai2,…,Aik) и т.д.
22. Имеется две игральные кости: одна-симметричная, вторая-несимметричная. Пусть р-вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, р=1/6.
А-несимметр.
кость
