107. Как определяется условное математическое ожидание непрерывной слу-

чайной величины Y при условии X = x и математическое ожидание слу-

чайной величины X при условии Y = y? Докажите, что M(M(X |Y))= M(X )

и M(M(Y | X ))= M(Y).

Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение x, называется величина

1. .

Аналогично определяется условное математическое ожидание X при условии, что Y = y

1. .

Заметим, что, вообще говоря, условное математическое ожидание, определенное формулой (7.41), не является числом, а выражается в виде некоторой функции, зависящей от x. Более того, каж-дую из функций (7.41), (7.42) можно рассматривать соответственно как функцию от случайной вели-чины X и Y. Поэтому можно найти их математическое ожидание

Сформулируем полученное соотношение в виде теоремы.

1. Теорема 7.3. Выполняются следующие соотношения

2. 

Если не прибегать к излишней строгости, соотношения (7.43) и (7.44) можно выразить словами: «Математическое ожидание от условного математического ожидания дает математическое ожидание исходной величины».

108. Сформулируйте и докажите неравенство Чебышева.

Неравенство Маркова: если x0, a>0, то P(Xa)  M(X)/a

Н-во Чебышева: пусть X – СВ, у кот есть M(X)=m и D(X)=a, тогда  >0 справедливо н-во

P(|X-m|)  D(X)/² Док-во: P(X)  m/ - н-во Маркова. |X-m|; (X-m)²/²1;

P(|X-m|) = P((X-m)²/²1)  M((X-m)²/²) = 1/² M((X-m)²) = D/²; P(|X-m|) D(X)/².

109. Используя н-во Чебышева, сформулируйте и док-те «правило трех сигм» для произвольной св X.

Н-во Чебышева: пусть X – СВ, у кот есть M(X)=m и D(X)=a, тогда  >0 справедливо н-во

P(|X-m|)  D(X)/². Противоположное событие: 1 - P(|X-m|)  1 - D(X)/²; P(|X-m|<) 1 - D(X)/².

Правило 3: Пусть =3: P(|X-m|<3)  1-²/9² = 8/9.

110. Сформулируйте и докажите теорему Чебушева для бесконечной последовательности случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными одним и тем же числом.

1°. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева позволяет доказать ряд важных теорем, объе-диненных одним общим названием "закон больших чисел". Основная из этих теорем принадлежит самому П.Л. Чебышеву.

1. Теорема 10.1. (теорема Чебышева). Пусть имеется бесконечная последовательность X₁, X₂, … независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

Тогда, каково бы ни было положительное число , вероятность события

стремится к единице при

Доказательство. Положим,

.

В силу свойств математического ожидания имеем:

.

Далее, так как величины независимы, то

.

Сопоставив полученное неравенство с неравенством Чебышева:

,

будем иметь:

1. 

Это показывает, что с ростом n вероятность события стремится к 1.

Смысл теоремы Чебышева можно пояснить следующим примером. Пусть требуется измерить некоторую физическую величину m. В силу неизбежных ошибок результат измерения будет случай-ной величиной. Обозначим эту величину X; ее математическое ожидание будет совпадать с измеряе-мой величиной m, а дисперсия равна некоторой величине D (характеризующей точность измеритель-ного прибора). Произведем n независимых измерений и обозначим:

X₁ – результат первого измерения;

X₂ – результат второго измерения

и т.д. Совокупность величин X₁, X₂, …, X_n представляет собой систему n независимых случайных ве-личин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама величина X. Среднее ариф-метическое этих величин тоже является, конечно, случайной величиной. Однако с увеличением n эта величина почти перестает быть случайной, она все более приближается к постоянной m. Точная количественная формулировка этой близости состоит в том, что событие становится как угодно достоверным при достаточно большом n.

Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения бо-лее точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений.

Близость к M(X) среднего арифметического опытных значений величины X уже подчеркивалась нами при самом введении понятия математического ожидания. Однако соответствующее рассуждение относилось только к дискретным случайным величинам; кроме этого, само высказывание о близости мотивировалось соображениями эмпирического характера. В противоположность этому теорема Че-бышева дает точную характеристику близости среднего арифметического к M(X) , и притом для любой случайной величины.