87.Что такое правило для нормального распределения? Верно ли, что для любой нормальной случайной величины х существует отрезок , для которого ? Ответ обоснуйте.

Правило трех сигм – отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более трех средних квадратических отклонений (по абсолютной величине). Правило трех сигм применимо для большинства СВ, встречающихся на практике. P (|X-a|<=3сигма) для нормального закона = 0,9973. Для равномерного закона =1. Для показательного = 0,9827 и т.д.

Для нормально распределенной с.в.Х справедлива формула

Преобразуем эту формулу, приняв В итоге получим

Если t=3 и, следовательно, , то , т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

2. Верно.

88. Формулируйте определение начальных моментов случайной величины. Докажите, что если х и у независимые случайные величины, то

Начальным моментом порядка k (k принадлежит N), свободная величина Х называется мат.ожиданием k-й степени Х.

Центральным моментом порядка k СВ Х называется мат.ожидание k-й степени отклонения:

Теорема: если Х и У независимые СВ, то

Док-во:

89. Пусть - начальные, а - центральные моменты некоторой случайной величины.

Докажите, что:

Докажем связь начальных и центральных моментов:

90. Сформулируйте определение асимметрии As(X ) случайной величины X и укажите ее основные свойства. Что характеризует асимметрия случайной величины?

Определение. Асимметрией распределения называют отношение третьего центрального момента к кубу стандартного отклонения:

Замечание. Асимметрия случайной величины X совпадает с третьим начальным (центральным) моментом соот-ветствующей нормированной случайной величины.

Действительно, по определению

Свойство 1. Асимметрия и эксцесс инвариантны относительно линейной замены случайной ве-личины:

Таким образом, асимметрия и эксцесс не меняются при сдвигах и растяжениях и их можно ис-пользовать в качестве характеристик формы распределения.

Свойство 2. Для независимых случайных величин X₁, …, X_n имеем

,

Заметим, что в случае одинаково распределенных независимых случайных величин X₁, …, X_n асимметрия и эксцесс их суммы стремится к нулю, когда n →

91. Сформулируйте определение эксцесса Ex(X) случайной величины X и укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения?

Эксцессом распределения назыв. величина:

для норм. распределения Ex=0 (поскольку для станд. норм. распред. N(0,1) )

Св-ва:

1

2

i=1,…,n

им. один дисперсию, то

В случае одинаково распред. нез. сл. вел

92 Найдите асимметрию и эксцесс равномерного распределения на отрезке [а,b].

Тк As и Ex не меняются при меняющихся заменах, а любое равномерное распределение на отрезке может быть получено линейной заменой из любого другого равномерного распределения, например, из равномерного распределения на отрезке, то достаточно посчитать As и Ex для этого распределения.

A s=μ₃/σ³, σ=√D, μ₃=M[(x-M(x)³]

E x= μ₄/σ⁴-3

Плотность f_x=1/(b-a)=1, μ₃= S^b _a fx(t)tdt== S^b _a tdt=t²/2 в пределах от a до =(b-a)²/2

D== S^b _a fx(t)t²dt=(b-a)³/3

σ=√D=√(b-a)³/3 

As=μ₃/σ³=((b-a)²/2)/( √(b-a)³/3 )

E x= μ₄/σ⁴-3=((b-a)⁵ /5)/(( b-a)³/3)² - 3

μ₄= M[(x-M(x)⁴] fx(t)tdt= S^b _a t⁴dt=(b-a)⁵ /5