70. Докажите, что коэффициент корреляции случайных величин х и у удовлетворяет условию . Что можно сказать о х и у, если ? Если ?

Определение. Коэффициентом корреляции двух слу­чайных величин называется отношение их ковариации к произведе­нию средних квадратических отклонений этих величин: p_xy=K_xy/«сигма»_х«сигма»_х. Из определения следует, что р_ху=р_ух=р. Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина. Отметим свойства коэффициента корреляции.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1],т.е. -1<р<1.Из неравенства

2. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость:

71. Чему равен ρ(X,Y) и Cov(X,Y) при условии независимости случайных величин X, Y ? Что можно сказать о ρ(X, Y), если Y=a+bX, где a и b – некоторые числа (b≠0)? Ответ обоснуйте.

Если X и Y независимые случайные величины, то Cov(X, Y) = M(X,Y) – M(X)M(Y) = M(X)M(Y) - M(X)M(Y) = 0

Если (β≠0), то

Док-во: Cov(X,Y) = Cov(X, α + βX) = M (X(α+βX)) – M(X)M(α+βX) = M(Xα+βX²) - M(X)(M(α) + M(βX)) = M(Xα) + M(βX²) – αM(X) – β(M(X))² = β(M(X²) – (M(X))²) = βD(X)

тоесть ч.т.д.

72. Дайте определение непрерывной случайное велчини X. Чему в этом случае равна вероятность P(X=a), где а – определённое число? Следует ли из равенства P(X=a)=0 для непрерывной случайное величины X, что событие X=a никогда не наступает?

Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(X) непрерывна в любой точке X. P(X=a), где а – определённое число, есть вероятность каждого и отдельного значения. P(X=a)=0, т.е. вер-ть каждого отдельного значения равна нулю. Однако это не означает, что событие Х=а невозможно. В результате испытания случ. величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным а.

73. Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности f (x)? Ответ обоснуйте.

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если найдется неотрицательная функция f(x), называемая плотностью распределения, такая, что для a < b вероятность попадания X в промежуток [a, b] получается путем интегрирования данной функции

Для функции распределения F(x) имеем

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. 1. , (неотрицательность).

2. 2. (условие нормировки).

3. 3. в точке непрерывности f(x).

Математическое ожидание непрерывной функции находится пу-тем интегрирования произведения данной функции и плотности распределения:

Произвольная случайная величина X называется сосредоточенной на промежутке [a, b], если вероятность попадания X в данный промежуток равна 1.

Плотность распределения абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], равна 0 вне [a, b].

Функцию распределения F(x) абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], можно представить в виде