52. Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины с законом распределения

		…
		…

Называется число

Математическое ожидание имеет следующие свойства:

1. Математическое ожидание случайной величины равно ей самой: М(С)=С

2. .Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: М(сХ)=сМ(Х).

Следовательно: M(aX+bY)=aM(X)+bM(Y)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат. Ожиданий:

4. Если случайные величины независимы, то мат. ожидание их произведений равно произведению их мат. ожиданий:

5. Мат. ожидание от функции равно:

Для определения суммы и произведения случ. вел. Х и У будем считать, что мы рассматриваем случайную величину , где g(X,Y) – некоторая числовая функция. Тогда система (Х,У) характеризуется следующей таблицей:

Y X			…
			…
			…
…	…	…	…

53. Приведите (с обоснованием) пример дискретного распределения вероятностей, для которого не существует математическое ожидание.

X	1	2	22	…	2n	…
P				…		…

ряд расходится т.к. => нет математич. ожидания.

54. Может ли математическое ожидание дискретно случайно величины, принимающей целые значения, быть числом не целым? Ответ обойснуйте.

Математическое ожидание дискретной случайное величины, принимающей целые значения, может быть числом нецелым. Например, найдём математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости, обозначим указанную случ. величину через X, принимающий целые значения (1; 2; 3; 4; 5; 6). Её закон распределения имеет вид:

X	1	2	3	4	5	6
P

- нецелое число

55. Пусть X – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание m . Докажите, что P(X ≥ 5) ≤ m/5 .

Докажем неравенство Маркова:

Если x>0 и a=const, a>0, то

Док-во: Введём новую величину:

Y	0	a
P	P(x<a)	P(x a)

X Y

M(x) M(y), M(y)= aP(X a)

aP(X a) M(x)

P(X a)

В нашем примере a=5 (т.е. a=const), a>0, M(x)=m

По неравенству Маркова: P(X 5)

56. Докажите, что если X и Y – независимые дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то M(XY)=M(X)M(Y)

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий).

Возможные значения X обозначим x₁, x_2, …, возможные значения Y - y₁, y_2, … а p_ij=P(X=x_i, Y=y_j). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. А M(XY)= Ввиду независимости величин X и Y имеем: P(X= x_i, Y=y_j)= P(X=x_i) P(Y=y_j). Обозначив P(X=x_i)=r_i, P(Y=y_j)=s_j, перепишем данное равенство в виде p_ij=r_is_j

Таким образом, M(XY)= = . Преобразуя полученное равенство, выводим: M(XY)=( )( ) = M(X)M(Y)

57. Докажите, что если X и Y – дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то M(X +Y) = M(X ) +M(Y).

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:M(X+Y)= M(X)+M(Y). Док-во. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения⁽*⁾( возьмем 2 значения):

X x1 x2 p p1 p2

Y y1 y2 g g1 g2

Составим все возможные значения величины X+Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим возможное значение Y; получим x₁+y₁, x₁+y₂, x₂+y₁, x₂+y₂. Предположим, что эти возможные значения различны( если не так, то доказательство аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p₁₁,p₁₂,p₂₁,p_22. Математическое ожидание величины X+Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: M(X+Y) = (x₁+y₁)* *p₁₁+(x₁+y₂)* p₁₂+(x₂+y₁)* p₂₁+(x₂+y₂)* p₂₂, или M(X+Y) = x₁*(p₁₁+p₁₂)+ x₂*(p₂₁+p₂₂)+ +y₁*(p₁₁+p₂₁)+ y₁*(p₁₂+p₂₂). Докажем, что p₁₁+p₁₂=p₁. Событие, состоящие в том, что X примет значение x₁ (вероятность этого события равна p₁), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x₁+y₁ или x₁+y₂ (вероятность этого события по теореме сложения равна p₁₁+p₁₂), и обратно. Отсюда следует, что p₁₁+p₁₂=p_1. Аналогично доказываются равенства p₂₁+p₂₂=p₂, p₁₁+p₂₁=g₁ и p₁₂+p₂₂=g_2. Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим M(X+Y)=(x₁p₁+x₂p₂)+(y₁g₁+y₂g₂), или M(X+Y)= M(X)+M(Y).